本文通过分析筒形插齿刀加工具有倒锥的汽车齿轮结合齿的切削原理，推导了插齿刀分圆压力角的修正公式。该修正公式根据筒形插齿刀工作原理推导，但可证明同样适用于外啮合插齿刀的齿形修正。

筒形插齿刀是用于插制汽车变速箱齿轮上带倒锥接合齿的刀具。由于汽车齿轮接合齿大多设计为沉入齿轮端面结构，因此筒形插齿刀也只能采用内啮合原理进行加工。为防止脱挡，将接合齿设计成倒锥齿，即两齿侧为具有大小相等方向相反螺旋角的渐开线螺旋面。在垂直于轴线的每一截面上，相当于一连续变位的渐开线齿形，其齿侧螺旋角与齿根(或齿顶)倒锥角具有如下关系： tanβ=tanα_etanα(1)式中：β——齿侧分圆螺旋角

α_e——齿根(或齿顶)后角

α——分度圆压力角

实际加工时，刀具旋转轴线与工件旋转轴线相交成一个角度，由于角度不大(7°)，为简化设计，把刀具和工件的啮合过程近似看成平行轴传动啮合。在被切齿形的不同截面上，由于切削啮合中心距是连续变化的，相当于不同变位的齿轮与同一内齿圈的啮合传动，因此被切齿形必然是一连续变位的渐开线齿形。加工时使刀具回转轴线与工件回转轴线相交角度等于工件设计齿根后角α_e，则所切结合齿齿根后角就等于设计齿根后角α_e。根据式(1)，由此所得工件齿侧螺旋角就等于设计的结合齿齿侧螺旋角β。

上述结论是建立在平面啮合原理的基础之上，而其中一个必要条件是要求刀具工作时投影到工件端面上的齿形分圆压力角与工件分圆压力角α相等。由于插齿刀在前端面上具有前角，刀具工作时其回转轴线相对工件的回转轴线摆转了一个角度，其前刃面投影到工件端面上的分圆压力角也不再与工件名义分圆压力角α相等。因此，在设计插齿刀时，必须对插齿刀的名义分圆压力角进行修正。

1 筒形插齿刀分圆压力角的修正公式

1.1 一般修正公式

筒形插齿刀分圆压力角的修正应包括两个方面：一是因刀具前、后角造成的齿形误差；二是因切削时刀具回转轴线相对于工件回转轴线的摆转角所造成的齿形误差。对此，国内外研究较多并提出了不同的计算方法和公式。其中，对刀具前、后角造成的齿形误差的一般修正公式为 (2)式中：α"——修正后的刀具分圆压力角

γ——刀具前角
式(2)既适用于外啮合插齿刀，也适用于内啮合筒形插齿刀分圆压力角的修正。

对于切削时刀具回转轴线相对于工件回转轴线的摆转角所造成的齿形误差的典型修正公式为 tanα=tanαcosλ(3)式中α——为修正后的分圆压力角迭加式(2)、式(3)两次修正结果，经化简得 tanα=tanα"cosα_e(4)式(4)即为筒形插齿刀分圆压力角的一般修正公式，式中的即为进行刀具齿形误差修正后刀具应具有的分圆压力角。

1.2 修正公式推导

公式推导
通过将上述两个方面的修正统一在同一几何图形中，笔者进行了筒形插齿刀分圆压力角修正公式的推导。
首先，由筒形插齿刀插制的渐开线齿形，也可用具有相同前、后角且齿形角与插齿刀分圆压力角相等的齿条插刀切制，即筒形插齿刀分圆压力角的修正等效于相同齿形角、前角、后角的齿条插刀齿形角的修正。因此，可采用分析齿条插齿刀齿形修正的方法来分析筒形插齿刀分圆压力角的修正。虚线齿形表示处于原始位置的等效齿条的原始齿形(即刀具无前角、刀具轴线相对于工作位置无摆转角度)，其齿形角就是刀具修正后所应具有的齿形角α。在其上建立与之固连的坐标系Oxy。实线齿形为刀具工作的实际位置。其从原始位置绕原点逆时针旋转λ角，然后作出前角γ，则在工件端面(水平面)投影的齿形角应等于工件分圆压力角α。N-N截面为刀具的前端面，是刀具从原始位置转过λ角但无前角的齿形截面。Oxy将坐标系转过γ角即得到坐标系Oxy。
现在，在刀具的工作位置(实线齿形)作平行于齿顶的截面L-L，分别截前刃面齿形于B点和A点。在主视图中，以原点为O圆心，以OA为半径画圆弧交Ox轴于A点，相当于刀具N-N截面齿形上A点绕原点旋转到原始齿形上的A点。因此，N-N截面上A点齿厚等于原始截面上A点齿厚(令其为s)。由于L-L截面平行于齿顶，可证明其截齿侧螺旋面上各点所对应的齿厚均相等(求证过程见下文)。因此，( 点对应齿厚等于B点对应齿厚，也即B点A点对应的刀齿齿厚相等。
根据以上分析，做出刀具前刃面齿形在工作位置时在工件端面的投影(实线部分)以及刀具原始齿形在原始位置时在工件端面的投影(虚线部分)。
可知刀具修正齿形角α (5)
刀具名义齿形角α (5)
有 h=OA-OA在ΔOAB中，∠BOA=γ，∠BAO=(π/2)+α_e
则∠ABO=π-∠BOA-∠BAO=(π/2)-(γ+α_e)
由正弦定理得将∠ABO、∠BAO代入上式则又则即有 (6)将式(6)代入式(5)，得到刀具修正齿形角计算公式 (7)将式(7)化简，则 (8)令tanα"=tanα/(1-tanα_etgγ)，代入式(9)得 tanα=tanα"cosλ(1+tanλtanγ)(9)上式即为齿条插刀修正压力角计算公式，也即筒形插齿刀修正压力角计算公式。
(2)证明：变位齿条上，任意平行于齿顶(或齿根)的平面所截齿廓上各点所对应的齿厚处处相等。
M-M、N-N为变位齿条上平行于前刀面的任意两截面，L-L为平行于齿顶的任意截面且L-L分别交N-N、M-M于A、B两点。过A点作N-N垂线，垂足为C。A、B、C点所对应齿厚分别为s_A、s_B、s_C。证明原命题，只需证明s_A=s_B。
令：M-M到N-N间距离为b，则齿条插刀上从M-M截面到截面的齿形变位量x_m为 x_m=-btanα_e
按照齿轮变位原理，与在N-N截面上、与A点处于同一高度的. 点对应的齿厚s_C为 s_C=s_A-2x_mtanα在主视图的直角三角形ΔC"DB中有 BD=x_mtanα则 s_B=s_C+2x_mtanα将s_C代入上式即可证得 s_A=s_B

2 结果分析

为深入理解筒形插齿刀各相关几何参数与齿形角修正之间的关系，把tan&alpha看成刀具摆角λ、后角α_e和前角γ的函数，并令 (10)以下仅对刀具回转轴线相对工件回转轴线的摆角变量λ与压力角函数f(λ，α_e，γ)变化关系进行分析。

f对λ的一阶偏导为 (11)

f对λ的二阶偏导为 (12)由于α"、λ、γ取值均在[0,(π/2)]之间，所以²f/λ<0，函数为凸函数，有极大值。令f/λ=0，得由于λ≠(π/2)，则有即 λ=γ(13)

以上函数性质的几何意义为：当0<λ<γ，摆角小于刀具前角时，修正压力角函数为增函数。随着摆角" 的增大，修正压力角亦增大；当λ=γ(即刀具工作时前刃面与工件端面平行)时，修正压力角达到最大值且 tanα_max=tanα"cosλsec²λ=tanα"/cosλ(14)当λ进一步增大，达到γ<λ<(π/2)时，修正压力角逐渐减小。当λ=2γ时， (15)

式(15)说明，当刀具前刃面处于水平面的两对称位置时，其修正压力角相等。

此外，从式(9)可知，当λ=0即刀具相对于工件不摆转角时，修正压力角公式(9)演变为 tanα=tanα"cosλ(1+tanγtanλ)=tanα"

上式即为仅考虑刀具前、后角造成的齿形误差的一般修正公式(2)。

而当γ=0时，式(9)变为 tanα=tanα"cosλ(1+tanγtanλ)=tanαcosλ

上式即为只考虑摆角时的齿形误差典型修正公式(3)。