| 摘 要：推导分析了渐开线滚刀的齿形和阿基米德滚刀的齿形之间的造形误差，找出了齿轮滚刀造形误差和各因素之间的关系。 |
齿轮滚刀是加工外啮合直齿和斜齿圆柱渐开线齿轮最常用的一种刀具。从理论上讲，加工渐开线齿轮的滚刀基本蜗杆应该是渐开线蜗杆，这样的滚刀称为渐开线滚刀。渐开线滚刀的侧后刀面在滚刀轴剖面中的截形是曲线，这种滚刀在制造和测量时都比较困难(如不能用径向铲齿代替轴向铲齿等)，所以虽然它在理论上是正确的，但是实际生产中很少被采用。
被广泛采用的是阿基米德基本蜗杆的滚刀，称为阿基米德滚刀。这种滚刀侧后刀面的轴向截形是直线，如果用它代替渐开线滚刀切齿时，则切出的齿轮齿形不是渐开线，因而在理论上造成了一定的齿形误差，称为齿轮滚刀的造形误差。为了减小这种误差，应该使阿基米德滚刀侧后刀面的轴向截形在分圆处与渐开线滚刀侧后刀面的轴向截形相切，即使如此，两种滚刀除分圆处的其它点仍有齿形误差Δf存在。 为了进一步弄清影响该误差值的因素，可对其做如下的理论分析。 设CD 是渐开线蜗杆的左侧螺纹面上的一条直母线，其上任意点m的直角坐标为(x, y, z)，为讨论问题方便，引入柱面坐标(x, ρ, θ)，其中ρ是m点到x轴的距离，θ是由m点与x轴所决定的平面与xoy平面的夹角(θ=0时，CD与y轴垂直)。如果蜗杆的导程为P，基圆半径为r，则m点沿蜗杆轴线方向的坐标为: x=AC+ABtanλ因为 | AC= | P | (θ-αm), cosαm= | r | , tanαm= | |
| √ | |
| ρ2-r2 |
| | |
| 2π | ρ | r |
| ABtgλ=rtanαm·tanλ= | P | ·tanαm |
|
| 2π |
所以 | x= | P | (θ+tanαm-αm)= | P | [θ+ | |
| √ | |
| ρ2-r2 |
-arccos | r | ] | | | | |
| 2π | 2π | r | ρ |
因此，右旋渐开线蜗杆螺纹左侧面的方程为:
|
| |
| x= | P | [θ+ | |
| √ | |
| ρ2-r2 |
-arccos | r | ] | | | |
| 2π | r | ρ |
| y=ρcosθ |
| z=ρsinθ |
(1) | 为了对两种滚刀的轴向齿形误差作理论分析，首先求出渐开线蜗杆的轴向齿形曲线方程，为简单起见， xoz平面(即θ=π/2)上的轴向齿形方程进行讨论。 由式(1)得出xoz平面上渐开线蜗杆的轴向剖面齿形曲线L1的方程为 |
| |
| x= | P | [ | π | + | |
| √ | |
| ρ2-r2 |
-arccos | r | ] | | | | |
| 2π | 2 | r | ρ |
| z=ρ |
(2) | 即 |
| x= | P | + | P | [ | |
| √ | |
| z2-r2 |
-arccos | r | ] | | | | |
| 4 | 2π | r | z |
(3) | | L1在分圆柱面 | { | y=Rcosθ | 上的点是M(x1，y1，z1)，其中: | |
| x1= | P | + | P | [ | |
| √ | |
| z2-r2 |
-arccos | r | ] | | | | |
| 4 | 2π | r | z |
，y1=0，z1=R。 | | z=Rsinθ |
由式(2) 可求得L1上任意一点处的切线斜率为 | z(x)= | 2πrz |
|
| P | |
| √ | |
| z2-r2 |
在M 点处L1的切线斜率为 | k= | 2πrR |
|
| P | |
| √ | |
| R2-r2 |
过M点与L1相切的直线L0的方程为(L0的变量用X 、Z 以区别L0 与L1上的点) Z-z1=k(X-x1)即 | Z-R= | 2πrR | ×[X-( | P | + | P | ( | |
| √ | |
| R2-r2 |
--arccos | r | ))] | | | | | |
| P | |
| √ | |
| R2-r2 |
4 | 2π | r | R | |
| X= | P | |
| √ | |
| R2-r2 |
Z+ | P | - | P | arccos | r | | | | |
| 2πRr | 4 | 2π | R |
(4) | 以L0为阿基米德蜗杆的左侧螺旋面的直母线，则阿基米德蜗杆的轴向齿形直线与渐开线蜗杆的轴向齿形曲线在M点处相切。 当Z与z取相同的值时，(x-X) 就是两种滚刀基本蜗杆在轴向剖面中的齿形线在同一齿高上的误差值Δf。 | Δf=x=X= | P | + | P | ( | |
| √ | |
| z2-r2 |
-arccos | r | )-( | P | | | √ | |
| R2-r2 |
z+ | P | - | P | arccos | r | | | | | | | | |
| 4 | 2π | r | z | 2πRr | 4 | 2π | R |
即 |
| Δf= | P | ( | |
| √ | |
| R2-r2 |
-z | | | √ | |
| R2-r2 |
+arccos | r | -arccos | r | | | | | |
| 2π | r | Rr | R | z |
(5) |
下面对Δf的值进一步分析。由z(x) 还可进一步求得 | z"(x)= | -4π2r2z |
|
| P2(z2-r2)2 |
只要z>0，则有z"(x)<0 ，因而曲线L1在z>0时是凸曲线。又由于L0与L1在M点相切， L0的斜率大于零，因而L1总在L0的右侧，所以总有Δf=x-X≥0。只有z=R时等号才成立。可以求出 | (Δf)z= | 1 | ( | |
| √ | |
| R2z2-R2r2 |
- | | | √ | |
| z2R2-z2r2 |
) | |
| 2πRrz |
若P、R、r一定，仅当z=R时，(Δf)z=0 ;当z>R时， (Δf)z>0，Δf是关于z的增函数， z越大，Δf越大;当z<R时，(Δf)zz<0，Δf是关于z的减函数，z 越小，Δf越大。由此可见，|z-R|越大，Δf越大。可以求出 | (Δf)z= | P | ×( | |
| √ | |
| z2R2-2zRr2+r4 |
- | | | √ | |
| z2R2-(z2r2+R2r2)+r4 |
) | |
| 2πr2 | |
| √ | |
| R2z2-R2r2 |
(Δf)z≥0 等号仅在z=R时成立，当z、R、P一定时，Δf是关于r的增函数，r越小，Δf越小。 由式(5)还可直接看出，当z、r、R一定时， P越小，即蜗杆的螺旋升角越小，Δf越小。 由以上分析可知，对于被广泛采用的阿基米德滚刀，为了减小其造形误差，阿基米德滚刀的基本蜗杆的分圆柱螺旋升角尽量取小值。而且滚刀刀齿分圆柱处的误差为零，而越到齿顶或齿根处时误差值越大。
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