2 浮点遗传算法(FGA)原理

3 用遗传算法求解冲头凹面半径最优值

3.1 冲头凹面圆弧半径的数学模型

3.2 求解方法与步骤

1. 求冲头圆弧的圆心坐标
   设冲头凹面上的被测点为M{(X_j，Y_j)|j=1，2，…，m}，测点M分布在圆弧凹面的圆周上，X_j，Y_j分别为测点坐标值。该组坐标上满足最小区域法的包容被测轮廓同心圆Q的值域为 {(X_o，Y_o)| X_min≤X_o≤X_max，Y_min≤Y_o≤Y_max}(3)为使数据处理标准保持一致，取0≤X_oi≤1，0≤Y_oi≤1。因此，用坐标法测量M(X_j，Yj_j)并求解圆弧圆心坐标Q的数学模型为 {X_o=X_min-X_oiδ_XY_o=Y_min-Y_oiδ_Y(4)式中，X坐标的误差为δ_X=X_max-X_min，Y坐标的误差为δ_Y=Y_max-Y_min。
2. 求冲头圆弧的圆度误差
   建立初始数学模型后，即可采用遗传算法计算冲头圆弧的圆度误差，计算步骤如下:

   1. 确定种群规模、概率和进化代数选取种群初始规模数n=50，交叉概率P_c=0.9，变异概率P_m=0.02，最大进化代数t=100。
   2. 种群初始化
      采用浮点遗传算法，使(X_o，Y_o)的寻优范围包括整个最优解可行域，在解的可行域中随机确定n个个体(可能解)，构成初始种群(t=0)为 P(ot)={(X^t_oi，Y^t_oi)|i=1，2，…，n}(5)
   3. 适应度函数
      参照式(1)数学模型δ=min|R_i-R_j|，目标函数为n个个体所对应的同心圆半径差(个体适度度函数)，即 δ(X^t_oi，Y^t_oi)=R^t_maxi-R^t_mini    (i=1，2，…，n)(6)式中，R^t_maxi，R^t_mini分别为测点M{(X_j，Y_j)|j=1，2，…，m}到个体(X^t_oi，Y^t_oi)对应的两同心圆圆心(Xsub>o，Ysub>o)的最大距离和最小距离。由于目标函数δ取值的变化方向与适应度相反，即目标函数值越小，对应的个体适应度越大。为此，建立适应度函数与目标函数的映射关系为 (-X^t_oi，Y^t_oi)=δ_max-δ(X^t_oi，Y^t_oi)(7)式中，δmax为当代种群所对应的目标函数最大值。
   4. 选择策略
      计算每一个体的生存概率P^t_l，然后设计一个随机选择策略，使每一个体(X^t_oi，Y^t_oi)被选择进行繁殖的概率为P^t_l，即 P^t_l=f(X^t_oi，Y^t_oi)/mf(X^t_oi，Y^t_oi)Σj=1(8)
      将种群中的个体按适应度由大到小进行排序，然后根据单一个体(X^t_oi，Y^t_oi)对应的适应度确定其繁殖后在交配池中的概率，单一个体(X^t_oi，Y^t_oi)繁殖后在交配池中的数量为n^t_i=p^t_in。如n^t_i≥1，则个体在交配池中的数量取整数：如n^t_i<1，则个体在交配池中的数量按适应度的大小顺序分别取1，直到交配池中的数量达到n为止。经过繁殖后，交配池中的n个新个体为 A₁(t)={(X^t_o1i，Y^t_o1i)|i=i，2，…，n}(9)
   5. 算术交叉操作
      用FGA中的算术交叉算子求解冲头圆弧半径。算术交叉操作是按以下数学模型交叉产生新的子个体的过程: {Ri=αRi+(1-α)RjRj=(1-α)Ri+αRj(10)式中，Ri，Rj为两个父体Ri，Rj通过交叉后产生的两个子个体，α为预先给定或随机选取的一个实数(0≤α≤1)。重复这一过程，直至形成新的过渡种群 A₂(t)={(X^t_o2i，Y^t_o2i)|i=1，2，…，n}(11)
   6. 单重高斯变异算子
      按均匀分布方式随机选择一个变元X^t_oni，将它加上一个服从高斯(正态)分布N(0，σ²)的扰动ξ，即有 Ai={Ai+ξ(若i=j，j∈{1，2，…，n})Ai(其它)(12)
   7. 新一代种群的计算
      经繁殖、交叉、变异后得到的新一代种群为 A^t+1₃={(X^t+1_o3i，Y^t+1_o3i)|i=1，2，…，n}(13)
      新一代种群中每一个体对应的目标函数值和适应度计算公式为 δ(X^t+1_o3i，Y^t+1_o3i)=R^t+1_maxi-R^t+1_mini    (i=1，2，…，n)(14)f(X^t+1_o3i，Y^t+1_o3i)=δ^t+1_max-δ(X^t+1_o3i，Y^t+1_o3i)    (i=1，2，…，n)(15)式中，R^t+1_maxi，R^t+1_mini，分别为测点M{(X_j，Y_j)|j=1，2，…，m}到个体(X^t+1_o3i，Y^t+1_o3i)对应的两同心圆圆心Q(X_min+X^t+1_o3iδX，Y_min+Y^t+1_o3iδY)的最大和最小距离，R^t+1_max为新一代种群对应的目标函数的最大值。
      为使适应性最好的个体保存下来不致丢失，应将上一代种群中适应度最大的个体保留到下一代种群中，并取代下一代种群中适应度最小的个体。为此，需找出适应度最大的个体(X^t+1_o3i，Y^t+1_o3i)对应的目标函数值δ(X^t+1_o3i，Y^t+1_o3i)。
3. 求冲头圆弧半径
   确定目标函数值δ后，可求出测点M{(X_j，Y_j)|j=1，2，…，m}到该个体对应的两同心圆圆心的最大距离R^t+1_maxk和最小距离R^t+1_mink，此时，可得到测量半径 R=[(R^t+1_maxk+R^t+1_mink)/2]±δ/2
   此时，需检验种群是否达到了最大进化代数，如已达到，此时种群中适应度最大的个体对应的测量半径R即为全局最优解，即所求的圆弧测量半径：否则，需转向求冲头圆弧的圆度误差中的步骤c重新进行计算。

4 计算实例

5 结语