摘要:针对7:24主轴/刀柄联接设计中常用的拉美公式计算误差大的问题，采用有限元法分析了7:24主轴/刀柄联接的非均匀应力场，研究了联接过盈量对主轴/刀柄接触压力、刀柄在主轴锥孔内轴向位置的影响，为主轴/刀柄联接的设计和结构优化提供了理论依据。

1 引言

由于7:24主轴/刀柄联接具有不自锁、易于刀具的快速夹紧—松开等优点，因而在数控机床和加工中心上得到广泛应用。切削加工过程中，为了确保刀具与工件的相对位置不发生变化，在主轴锥孔与刀柄锥面间需要一定的过盈量，以形成足够的接触应力、接触刚度来满足加工需求。由于传统的圆锥过盈联接设计方法是以基于拉美公式的厚壁圆筒原理为模型，用材料力学的方法计算过盈联接所需要的过盈量，因此不能精确反映主轴和刀柄的实际结构对变形和应力的影响，不能精确计算出联接面间的应力分布，影响了联接的设计质量和应用的可靠性。此外，用传统方法计算时以圆锥面平均直径取代结合直径，不仅计算复杂，而且误差大。从力学的角度上讲，7:24主轴/刀柄联接属于边界条件高度非线性的复杂问题，其特点是某些边界条件不可能在计算开始时就能确定，计算结果、接触面积及应力分布是随着外载荷的变化而变化的。近年来，随着非线性理论的不断完善和计算机技术的飞速发展，利用非线性有限元法解决这类复杂问题已日趋成熟。本研究将借助于先进的有限元技术分析机床上常用的7:24主轴/刀柄联接的非均匀应力场，以提高分析效率和计算精度，为主轴/刀柄联接的设计和优化提供理论基础。

图1 主轴/刀柄联接结构图

2 7:24主轴/刀柄联接处的非均匀应力场分析

由于主轴/刀柄联接结构的轴对称性，为方便分析，采用极坐标(r，θ)表示各分量。其中，剪应力τ_rθ=0，径向应力与切向应力仅是r的函数，与θ无关，为σ_r(r)、σ_θ(r)。同理，应变分量为epsilon;_r(r)、epsilon;_θ(r)。由于轴对称性，主轴与刀柄的体积沿半径方向均匀膨胀或收缩，即只产生径向位移u(r)，因此可按轴对称平面应力问题求解。

主轴与刀柄联接间的几何尺寸及边界条件如图1所示。

平衡方程为 dσ_r+σ_r-σ_θ=0drr

几何方程为 epsilon;_r=du ，epsilon;_θ=udrr

本构方程为 epsilon;_r=1(σ_r-νσ_θ)Eepsilon;_θ=1(σ_θ-νσ_r)E刀柄和主轴的边界条件分别为 {σ_r1(r1=0)=0σ_r1(r1=a)=-p{σ_r2(r2=a)=-pσ_r2(r2=b)=0

将上述方程联立求解，可以得到刀柄和主轴的位移分量为 u₁(r₁)=-P[(1-ν₁)r₁]E₁(1)u₂(r₂)=-a²P[(1-ν₂)r₂+(1+ν₂)b²]E₂(b²-a²)r₂(2)

由于主轴与刀柄均为钢质材料，其弹性模量和泊松比基本相同，分别为E和V，则根据式(1)和式(2)，主轴/刀柄联接的过盈量δ可由下式确定 δ=2[u₂(r₂=a)-u₁(r₁=a)]=4ab²PE(b²-a²)(3)

由式(3)可得主轴和刀柄联接面间的接触压力为 P=Eδ(b²-a²)4ab²P(4)式中：a——实心刀柄外径，主轴内径

b——主轴外径

E——杨氏模量

P——接触压力

ν——泊松比

从式(4)可以看出，在过盈量为一定值的情况下，主轴/刀柄联接处的接触压力随配合直径的变化而变化，是一个非均匀应力场，这一点与圆柱过盈联接处的接触压力变化明显不同。由于主轴/刀柄联接处存在的非均匀应力场导致无法利用拉美公式来研究分析过盈联接特性，也无法按平均直径的组合厚壁筒原理计算接触压力。

3 7:24主轴/刀柄联接的有限元分析

由于主轴/刀柄联接面间不能粘贴应变片，难以对其应力状态进行测定，无法对切削过程中联接面间的应力场进行跟踪研究。因此，通过先进的非线性有限元软件及可视化技术模拟应力变化情况，可为主轴/刀柄联接的设计和优化提供理论依据。由于主轴与刀柄的结构对称，进行有限元分析时，可以用二维轴对称板单元模拟三维实体单元。以ISO No.50主轴/刀柄联接为例，主轴/刀柄联接有限元模型见图2，引入板接触单元分析联接面间的应力分布情况，刀柄受到的轴向拉力为35，000N。联接面间的摩擦符合库仑定律，摩擦系数为0.12。

E=2.1×109Pa，ν=0.3，ρ=7.8×103Kg/m³
图2 主轴/刀柄圆锥联接有限元模型

图3 主轴/刀柄间的非均匀应力场

图4 接触压力与过盈量之间的关系

国际标准ISO 7388/1—83和ISO/DIS 7290规定7:24圆锥柄的锥角公差为AT4级，下偏差为零：7:24主轴锥孔的锥角公差为AT4级，上偏差为零。根据上述标准规定，可知ISO No.50刀柄小端的圆锥角公差为13"0，直径公差为0-4.3µm：主轴锥孔小端的圆锥角公差为0-13"，直径公差为4.30µm。为了便于分析过盈量和轴向拉力对联接状态的影响和提高分析的可靠性，假定主轴与刀柄的联接处于最差状态，即刀柄小端直径为下偏差而主轴锥孔小端直径为上偏差。

式(4)表明，主轴/刀柄联接面间的接触压力是一个非均匀应力场，其变化如图3所示。图3为在主轴与刀柄间没有过盈量时，刀柄在拉紧机构轴向拉力的作用下产生轴向位移进而与主轴锥孔发生接触后形成的非均匀应力场。

(1) 7:24主轴/刀柄联接接触压力与过盈量的关系

从式(4)可以看出联接面上的联接接触压力的大小取决于过盈量的大小，因此要确保切削过程中，刀具与主轴间的联接状态不发生变化，就需要在主轴/刀柄联接面间施加一定的初始过盈量，在轴向拉力的作用下通过弹塑性变形提高接触压力、接触刚度以满足切削加工对主轴/刀柄联接状态的要求。图4中的曲线表明主轴/刀柄的圆锥联接接触压力随着过盈量的提高而提高。因此，在主轴与刀柄材料还没有发生失效的前提下，通过提高初始过盈量来提高接触压力、接触刚度对于提高联接可靠性、提高刀具的旋转精度具有积极的意义。

由图4可知，当过盈量超过60µm，接触压力几乎不再提高，即对ISO No.50主轴/刀柄联接而言，初始过盈量不宜超过60µm。图4中曲线还显示出在联接的两端接触压力最大，尤其是当初始过盈量超过10µm时，小端的接触压力比其它位置的接触压力大许多。通常情况下，都是根据接触压力来设计过盈量，但主轴/刀柄联接中接触压力的不均匀性给主轴/刀柄的过盈联接设计带来了困难，其原因在于如果根据接触压力设计过盈量，那么计算出的过盈量就是一个非均匀变化函数，这样的联接在工程上是无法实现的，因此必须寻找新的方法设计主轴/刀柄的联接。由于标准的7:24刀柄较长，很难实现全长无间隙接触，一般要求确保联接面前段70%以上实现接触并且具有足够的接触压力和接触刚度。图4的变化曲线表明，在主轴/刀柄的接触长度上0～92.5mm间的接触压力变化并不十分大，且这段距离已占整个接触长度的90%(92.5mm/102.8mm)。因此，从工程应用的实际现况出发，在设计主轴/刀柄过盈联接时，可以只研究0～92.5mm这段接触长度上的接触压力与过盈量之间的关系。如果要使接触压力达到0.8×108Pa左右，那么在0～92.5mm接触长度上的过盈量需要达到60µm，而后段的过盈量只需要30µm即可满足要求，按此设计的主轴锥孔结构既有利于均化接触压力，也有利于锥孔后段的加工。

图5 刀柄轴向位置与过盈量之间的关系

(2) 7:24主轴/刀柄联接中刀柄的轴向位置与过盈量的关系

刀柄要与锥孔间实现紧密接触，就必须在拉刀机构的作用下轴向移动，直至两者的前段完全接触。在轴向拉力为定值(35，000N)的情况下，刀柄在主轴锥孔内的最终轴向位置随过盈量的变化在18µm到～153µm之间变化，其变化曲线见图5。在切削加工过程中，需要刀具在X、Y、Z三个方向精确定位。对同一台加工中心而言，刀库中需要配备几十甚至上百把刀具以供使用，若不同刀柄与同一个主轴间的过盈量相差较大，就会使不同刀柄在主轴锥孔内的最终轴向位置具有较大差别，从而导致不同刀具的Z向定位精度不同。因此，若要提高刀具的Z向定位精度，就必须根据过盈量选配刀柄，使得同一台加工中心的主轴/刀柄联接的过盈量在一个较小范围内变化，以提高Z向定位精度。

4 结论

7:24主轴/刀柄联接面间的接触压力是一个非均匀应力场，采用有限元法可以方便地研究主轴/刀柄的过盈联接量对主轴/刀柄接触压力、刀柄轴向位移的影响。本文的研究表明，主轴/刀柄的圆锥联接接触压力随着过盈量的提高而提高，在联接的两端接触压力最大，当初始过盈量超过10µm时，小端的接触压力比其它位置的接触压力大许多。在轴向拉力为定值的条件下，刀柄在主轴锥孔内的最终轴向位置随过盈量的变化而变化。

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