摘要:对传统的质量控制算法和常规计算机质量控制算法进行比较，把它们统一起来，并提出一个变形了的EWMA 质量控制算法，推导验证了其无偏估计量，分别针对抛弃和非抛弃两种形式求出了各自递推表达式。最后设计了一个基于EWMA 计算机辅助质量控制系统，并据此进行了实验仿真。

传统的生产过程中，质量保证的目标在于“使产品质量达到一个可接受的水平”。为了达到这个可接受水平(AQL)，采用的是人工检验和统计分析的方法。这种方法属于事后检验的方法。而人工检验是一项单调而费时费力的工作，因而质量常常得不到有效的保证。计算机和传感器技术的结合使检验过程实现了自动化。检验工作都是在线的全检。计算机辅助质量控制系统与传统方法相比有着全检、工序集成、实时性高的优点。但常规的计算机辅助质量控制中，加工系统的时间特性又往往得不到体现。EWMA是指数加权滑动平均的方法。本文对传统的质量控制，以及常规的计算机辅助质量控制的有关参数进行了修正，推导出EWMA下相应的参数，并给出了一个计算机辅助EWMA质量控制系统。

1 质量控制图的分析

对于生产过程的质量控制，以加工用的X控制图为例，分析步骤如下:

按加工顺序随机抽取出一批样本N，每组n件，计算出初始X=₀、R₀、σ₀以及上下控制线。
选取新样本，计算出X₀，并将点描绘到控制图上。
根据点的波动情况来判断工艺过程是否稳定，如果不稳定就要对其原因及影响进行分析，并采取相应措施。
计算并调整新的X=_i、R_i以及上下控制线。对Xi、Ri进行调整的数学模型如下:

X=_i=E_µ，iip_jX_jΣj=1(1)R_i=E_R，iip_jR_jΣj=1(2)

其中p_j是各数据的权值，，我们可以将它们看作选取每个数据的概率，从而在形式上与标准的概率公式相统一。E_µ，i、E_R，i是为了使其达到估计量的无偏性要求而取的系数。

各种质量控制算法的主要区别就在于第4步过程中的各系数取值情况的不同。

1.1 传统的质量控制算法

X=_i、R_i的值保持不变，都等于X=₀、R₀。

在模型(1)(2)中对应于:

{p_j=1/m，j≤mp_j=0，j>m

这种算法简单，可手工实现，但其对数据的利用不够以至参数不够接近实际情况。

1.2 常规的计算机质量控制算法

随着加工的进行，把测得的数据都作为原始样本数据处理，各样本数据权值完全相同。

在模型(1)(2)中对应于:

p_j=1/i

这种算法充分利用了每一个样本数据，但其对样本数据的“一视同仁”，造成了数据的新鲜度不够，长时间运行后新的数据会淹没在众多的历史数据中。

1.3 计算机辅助EWMA算法

在充分利用样本数据的同时，重视新鲜数据。体现在p_j随j的减小作指数衰减。下面给出一个EWMA算法，并推导出其相应的无偏估计量。

2 EWMA 的质量控制

2.1 推导无偏估计量

由式(1)、(2)的假设，验证并推导相应的无偏估计量

将X₁、X₂、X₃……看成是独立同分布的随机量，µ是X的原点距，σ是总体标准差
则 E(X_i)=E(X)=µ

X=_i=E_µ，i ip_jX_j，Σj=1

E(X=_i)=E(E_µ，iip_jX_j)=E_µ，iµ_jip_jΣΣj=1j=1

显然E_µ，i=1就可使X=_i成为对µ的无偏估计量。

同理，式(2)中R_r，i应为1。

若样本取自正态总体，可以证明样本极差R与总体标准差σ有下列关系:令W=R/σ，可以证明E(W)=d₂，为一与样本大小n有关的常数，于是，σ的估计量为σ^=E(R)/d₂。

m个样本的极差为R₁、R₂、R₃……。

由式(2)，Ri_i=R_j，故σ的估计量为 σ^_i=R_i/d₂ (3)

(dsub>2可查表得)

2.1 推导EWMA下的估算式

根据单步时序预测模型，有 y^_t+1=λy_t+(1-λ)y^_t (4)

(0<λ<1)

将式(4)迭代2次后，有y^_t+1=λy_t+λ(1-λ)y_t-1+λ(1-λ)²y_t-2+λ(1-λ)³y^_t-2

以λ、λ(1-λ)、λ(1-λ)²……作为各历史数据的相对重要性的权值。

则可令p_i=λ/D，p_i-1=λ(1-λ)/D，p_i-2=λ(1-λ)²/D，……可看出p_k是比为1-λ 的等比级数。

D是为了使权系数的和为1而取的系数。

D=λ+λ(1-λ)+λ(1-λ)²+……

因为越是旧的数据参考价值越低，权值也越小，若抛弃很旧的数据，只取N项，则D=1-(1-λ)^N

将p_k以及D的表达式带入(1)(2)中，则可得出EWMA下的估计值。

为计算的方便，可推导出其递推式如下:

X=_i+1=(X=_i-p₁X₁)(1-λ)+p_NX_i+1

R_i+1=(R₁-p₁R₁)(1-λ)+p_NR_i+1

图2 程序框图

显然p_N=λ/D

若不抛弃老的数据，有D_i=1/[1-(1-λ)_i] ，p_i+1=λ/D_i+1

X=_i+1=(D_i/D_i+1)(1-λ)X=_i+p_i+1X_i+1

R_i+1=(D_i/D_i+1)(1-λ)R_i+p_i+1R_i+1

σ^_i+1=R_i+1/d₂，σ_x，i+1=σ^_i+1/n^½

令A₂=3/(d₂n^½) ，A₂也可查表(Reprinted by permission of the American S0ciety for Testing and Materials，1950)，则采用该估计式的质量控制图如图1所示。

图1 EWMA下的质量控制图

3 系统组成及软件设计

系统输入方面通过传感器及测微仪将工件加工的物理信号转换成电信号，再由A/D 转换器将模拟量转成数字量。计算机对采集来的数据进行分析处理，由显示器、绘图仪、声卡等输出报警信号。

非抛弃型的程序框图如图2所示。

4 实验结果

加工中有一组齿轮钻孔数据，其结果如附表所示样本大小n=4。附表实验结果组号123456789101112131415161718均值6.356.406.366.656.396.406.436.376.506.426.396.396.406.416.456.346.366.43极差0.080.100.060.100.100.090.050.080.040.110.030.040.120.070.080.100.120.30组号1920212223242526272829303132333435 均值6.356.516.406.396.396.386.416.356.406.366.436.426.406.386.386.356.41 极差0.060.110.080.070.060.080.060.080.090.100.090.080.100.110.090.090.10

图3 常规质量控制图

图4 变形的EWMA质量控制图

取λ=0.3(λ 通常取2/(1+n)，λ值体现在图中控制线的波动程度，常规质量控制图相当于λ取很小的值)查表得A₂=0.729。

实验得出的X质量控制图见图3。

对比两图，可看出常规质量控制图中的第3点出界(实心黑色点表示)，而EWMA 图中此点仍在界内。实际加工中质量仍然稳定，可看出质量问题是误报。EWMA 质量控制图更能反映当前的加工状况。