本文阐述了将空间离散点拟合成圆柱螺线的原理与方法，并由此设计出应用软件。应用此软件，可编制出精简优化的叶片数控加工程序。
1 问题的提出
进入21世纪，随着加入WTO，我国正逐步融入全球化生产制造的序列中，大量引进了国外先进的数控加工设备，以及高端CAD/CAM软件。叶片型面的加工工艺复杂，所需机床多为四坐标或五坐标联动，但是这些机床价格昂贵，如果出方开粗等粗加工也在这么好的机床上作，一来不经济，二来粗加工对机床精度的损害也是非常大的。其实利用原有的三坐标数控机床进行粗加工是不错的办法。问题是这些三轴数控机床容量都比较小，程序要简短，而我们利用UG、MasterCAM 等CAM软件编出来的程序都由许多离散点组成比较长，不适合老的机床使用，这就需要我们要好好在编程上想办法。
叶片各部位的数控铣加工，它们的刀具运动轨迹大多由空间离散点组成。图1是某叶片叶根与叶身圆弧转接处的数控铣加工简图。A曲线是球头刀球心的运动轨迹。它由120多个空间离散点组成，并由此形成120多条直线段的数控铣加工程序。
图1 圆弧转接数控铣加工简图
由于要求加工型面尽可能光顺，所以空间插补点的数量不可少于120个，因此形成冗长的数控加工程序段。能否尽可能精简加工程序段，达到程序优化的目的？下面提出较完善的解决方法。
2 曲线的拟合
2.1 圆柱螺线的运动功能
众所周知，一般三坐标数控铣床都具有走圆柱螺线的运动功能。图2表示的是以xy为底平面的圆柱螺线运动。假设M是球头刀球心的运动点，它一方面按一定的螺旋升角在Z轴方向作上升（下降）运动；另方面，运动点在xy平面上的投影轨迹形成一条定直径的圆弧。 nextpage
圆柱螺线的方程表达式为：
其中a为圆弧半径，t为圆弧角（弧度为单位），k为螺线斜率。
根据这一原理，可以将无数个空间离散点拟合成若干条首尾相衔的圆柱螺线段，从而极大地缩小数控加工程序的段数。
具体的作法是将插补得到的大量的空间有序点（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),……，(xn,yn,zn)进行所谓的“双向拟合”。
以图2为例，在xy平面上，采用最小二乘法作为数学模型，用圆弧来拟合空间离散点在xy平面上的投影(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)……，(xn,yn)点。
图2 圆柱螺线及其展开图
2.2 最小二乘法的基本原理
通过计算插补得到空间刀具轨迹的较密的大量有序点列，将这些点在xy平面上投影，对于这些投影点，如果采用过点作圆法，则各段圆弧虽通过给定点，但在未给定点处圆弧与离散点投影曲线之间误差较大。用最小二乘法拟合这些点，如图3所示，近似圆弧不一定通过每个给定点，但近似圆弧与每个点之间绝对误差的平方和为最小。圆弧与各点理论准确值的误差可以人为地用“容差”来限定。“容差”不是零件加工的允许公差，而是根据零件精度要求给定的曲线上任一点的允许计算绝对误差。“容差”越小，则逼近精度越高，但近似圆弧段数则越多。nextpage
图3 最小二乘法拟合圆弧
2.3 最小二乘法的计算方法
设近似圆弧的圆心坐标为（A，B），半径为R，(xi,yi)为曲线上任一点的坐标，则可求得：
假如设定“容差”值为ta，所有的拟合点均在R±ta 的“容差”带范围内，如图3所示，则认为圆弧拟合成功。
在对xy平面进行圆弧拟合的同时，还必须按方程组公式对z1,z2,z3……zn进行逐点检查。知道拟合圆弧的半径为a，起始角为t1,终止角为tn，起点z值为z1,终点为zn,那末螺线斜率。知道螺线斜率k，就可以按公式对起、终点之间任一拟合点的z值进行检查，如果这些点的z值均在设定的“容差”tb范围之内，则认为这一段圆弧螺线拟合成功。
当然，根据需要也可将空间离散点向xz或yz平面上投影，以生成以xz或yz为底平面的空间螺线，其原理与方法同前。
3 软件的编制
3.1 流程描述
nextpage 在数控加工编程软件中，按上述的拟合原理和方法，采用高级编程语言将其设计成独立的“预处理”模块，该模块介于“插补计算”模块和“后置处理”模块之间。“预处理”模块的流程粗框图描述如下：
圆柱螺线拟合框图
3.2 几点说明
3.2.1“确定xy,xz,yz平面” 就是选择圆柱螺线的底平面，它由零件加工的要求和数控机床的坐标体系所决定。譬如，图1所示的加工就选择yz为拟合圆柱螺线的底平面。
3.2.2“容差”ta和tb值可根据零件的加工精度要求分别设定，大小可以不同。一般来说，“容差”值比零件的公差值小得多。
3.2.3“从sf文件读数据到数组A”，在首段螺线拟合的起始阶段，必须在数组A中先读入3组坐标数据后才能进行以后的“双向拟合”循环。
3.2.4“数组B读入ef文件”，此时数据文件格式完全符合“后置处理”模块的要求。ef文件作为“后置处理”模块的原始文件。
4 结束语
本方法除应用于叶片圆弧转接处的数控加工外，还应用于叶片凸台、叶片型面以及叶片进出汽边等部位的加工。实践证明，采用上述原理与方法拟合空间离散点数据是一种很好的编程预处理方法。它有如下优点：
(1) 编程灵活及通用性强。在编程时，可根据零件的公差来选择“容差”，做到编程精度可调。可任意选择xy、xz或yz 投影面来拟合圆柱螺线，从而满足不同零件和机床的编程要求。当原始数据z=0或z值相同时，亦可编制出平面圆弧组成的数控加工程序，因此也能满足数控线切割和平面数控铣的加工要求。
(2) 在满足零件加工精度的前提下，所编制的加工程序段最少，一般是其它编程方法的1/3―1/10。以类似图1的叶片圆弧转接加工为例，经拟合处理后，所编制的数控铣加工程序仅有6―8条。通过大量使用证明，这种方法大大地简化了数据的输入，节省了机床计算机设置的内存，提高了工效和表面加工质量，因此深受机床操作者的欢迎。
