摘要：通过建立数学模型，分析了超声振动钻削声学系统的动力学规律，探讨了工具杆局部共振现象的机理，得出了当工具杆发生局部共振时，变幅杆与工具杆联接处为位移节点且整个系统处于谐振状态的结论，并推导了超声波发生器可调频率范围与刀具杆磨损率的关系。

1 引言

超声振动钻削工艺具有的特殊动力学机理使其可获得良好的加工效果。但由于超声振动钻削系统的设计较复杂，工艺的可操作性和可靠性不易达到实际生产需要，因此在一定程度上阻碍了振动钻削技术的推广应用。设计振动钻削系统时，通常将钻头视为等截面杆，而换能器和变幅杆的长度则按半波长或1/4波长处理。如钻头较短，在设计变幅杆时可将其视为等效质量予以考虑；如钻头较长，则按半波长的整数倍叠加设计其长度。显然，当钻头在加工中磨损较大时，必须及时更换，否则钻头端部振幅将明显减小甚至停振。1982年提出的局部共振理论则突破了细长钻头长度必须按半波长整数倍叠加设计的局限。该理论认为，细长钻头可独立于用于驱动的换能器和变幅杆系统而发生共振，且具有振速放大作用，因此当钻头长度因磨损而发生变化时，只需调整超声波发生器的频率即可使钻头保持良好的加工效果。可见，局部共振原理具有很大的实用价值。局部共振现象已在许多振动切削加工过程中被观察到，并被应用于实际生产中。

2 局部共振现象的机理研究

目前已有不少研究者从不同角度(如广义变幅器理论、全谐振观点、系统与工具杆的弱耦合振动等)对局部共振现象的机理进行了探讨。最新发表的文献基于动力吸收器装置的消振原理分析了局部共振机理，指出在变幅杆与工具杆的联接处总会出现位移节点，工具杆的振动会引起具有自身规律(即固定—自由方式)的共振。

本文拟通过建立数学模型，分析超声振动钻削声学系统的动力学规律，探讨工具杆的局部共振现象。

超声振动钻削加工的声学系统一般由换能器、变幅杆、工具杆组成。换能器只是产生高频振荡的驱动系统，因而可将变幅杆和工具杆简化为等效质量—弹簧—阻尼模型，其结构和力学模型如图1所示。
(a)系统结构简图
(b)不计阻尼的力学模型
(c)考虑阻尼的力学模型图1 振动钻削声学系统结构及力学模型

设变幅杆为m₁-k₁-c₁，工具杆为m₂-k₂-c₂，则变幅杆和工具杆组成一个二自由度系统。根据图1c，该二自由度系统的振动微分方程为 (1)(2)或用矩阵表示为 (3)式中，用Im(u₀eiwt)代替u₀sinwt。为简便起见，在不至于引起歧义的情况下省略了虚部符号Im。设稳态响应为 [x₁]=[X₁]e^iwtx₂X₂(4)

代入微分方程可得 (5)

变幅杆和工具杆的相量分别为 (6)其中，频率方程为 f(w²)=[-m₁w²+i(c₁+c₂)w+k₁+k₂](k₂-m₂w²+ic₂w)-( ic₂w+k₂)²(7)

相量的模为 (8)

系统的位移稳态响应函数为 x_i(t)= X_i(w)e^iwt (i=1，2)(9)

当不计阻尼c₁、c₂时(见图1b)，式(6)可化为 (10)

此时的频率方程变为 f(w²)=(k₁+k₂-m₁w²)(k₂-m₂w²)-k₂²(11)

当不计阻尼时，变幅杆和工具杆相量的模即为其振幅。

设变幅杆的固有频率为，工具杆的固有频率为，则由相量方程(10)可知：若不计阻尼，则当w=w₂时，|X₁|=0 而|X₂|≠0。由此可知，当工具杆的固有频率和经换能器转换的激振频率相等时，在变幅杆输出端处的振幅为零，即变幅杆和工具杆联接处为位移节点，而此时换能器和工具杆处于谐振状态。设计振动钻削系统时，一般是根据换能器的频率来设计变幅杆，变幅杆频率与激振频率非常接近(即w≈w₁)。因此，设计出的变幅杆和换能器也接近于谐振状态。也就是说，当变幅杆和工具杆联接处为位移节点时，有w=w₂≈w₁，因此整个振动钻削声学系统实际上处于一种谐振状态。且从相量方程式(10)可以看出，在不计阻尼的条件下，当且仅当w=w₂时，变幅杆和工具杆的联接处才为位移节点。当工具杆的固有频率发生变化(即钻头发生磨损)时，只需适当调整超声波发生器的输出频率，总可以使w=w₂，即使工具杆保持共振状态。从这一角度看，在局部共振时，实际上整个声学系统仍处于一种谐振状态。

但是，在实际系统中必然存在阻尼，因为系统能量是不断耗散的。假如施加的激振力消失后，系统的振动将会逐渐减小直至最后停止。由式(8)可知，无论激振频率取何值，都不能使变幅杆输出端的振幅为零。当w=w₁=w₂时，整个声学系统处于一种谐振状态，但在变幅杆与工具杆联接处也有极小的振动，其振幅为A₂=|c₂wu₀|/|f(w²)|，这一点与实验结果相吻合。

3 工具杆磨损量与超声波发生器频率调整范围的关系

图2 一端固定、一端自由的杆的纵向振动

现在讨论当工具杆在加工过程中发生一定磨损时，超声波发生器所需的频率调整范围。一端固定、一端自由的杆作纵向振动时杆微元的受力情况如图2所示。

取杆的轴线为x 轴，各横截面的纵向位移为u(x，t)。设杆长为L，横截面积为A，杆的密度为r，弹性模量为E。杆的任一x截面处的纵向应变为e(x)，纵向张力为p(x)，则有 e(x)=uxp(x)=EAe(x)=EAux

因此，在x+dx 截面处的张力为 p+pdx=EA(u+²udx)xxx²

根据牛顿第二定律，建立杆微元的运动微分方程为 rAdx²u=(p+pdx-p)=²udxt²xx²

整理得 ²u=1²u=w_n=常量x²c²t²(12)式中，c²=E/r是细长杆内的声速。

式(12)为一维波动方程，可采用分离变量法求解。设方程的解为 u(x，t)=Ø(x)q(t)(13)则可求得 Ø(x)=A₁sinw_nx+B₁cosw_nxcc(14)q(t)=A₂sinw_nt+B₂cosw_nt(15)式中，常数A₁、B₁由边界条件决定；常数A₂、B₂由初始条件决定。显然，对于给定的w_n， Ø(x)确定了杆振动的振型，即为振型函数，而q(t)为对应此w_n的运动规律。因此，方程式(12)的解亦可表示为 u(x，t)=(A₁sinw_nx+B₁cosw_nx)(A₂sinw_nt+B₂cosw_nt)cc(13)

根据边界条件可以确定频率方程。对于一端固定、一端自由的工具杆，有 u(0，t)=0(14)e(L，t)=u(L，t)=0x(14")

将式(14)、(14")代入式(13)，有 B₁=0(15)w_nA₁cosw_nL=0cc(15")

显然，由式(15")，有 w_nL=2n+1pc2(16)或 f_n=2n+1c(n=0，1，2，…)4L(16)

式(16)或(16)即为一端固定、一端自由的杆的频率方程。当工具杆发生局部共振时，它将以上式表述的频率进行振动。应当指出，边界条件(式(14))表明杆端是刚性夹紧的，但一般来说，杆端绝对固定是相当困难的。

当工具杆的长度发生变化(即钻头发生磨损)时，假设磨损长度为L，磨损率为d，d=(L/L)×100%，则由式(16)可确定工具杆的频率变化范围为 h=f_n-f_n×100%=L×100%=df_nL-L1-d(17)

反之，亦可根据工具杆的频率变化范围h 来判定其磨损率d，即 d=h/(1+h)(18)

由于工具杆发生局部共振时其频率等于激振频率，工具杆的频率变化范围即为超声波发生器的频率变化范围，因此可根据超声波发生器的可调频率范围来确定刀具杆的磨损率，而不需更换钻头。例如，当工具杆长度为303.55mm，直径为1mm，超声波发生器的可调频率范围为±20%时，工具杆的磨损率可达16.67%，磨损长度可达50.59mm。在此磨损范围内，通过适当调整超声波发生器的频率，均可使工具杆的自由端处于共振状态。

4 利用局部共振原理设计振动钻削加工系统

典型的振动钻削加工系统由切削工具、工具与变幅杆的联接夹头、变幅杆、换能器和超声波发生器等组成。振动钻削装置的传统设计方法一般是根据超声波发生器的输入量按照工具空载状况建立相应的数学模型，然后根据边界条件确定工具杆夹头与变幅杆的等阻抗计算公式，根据此公式来确定相应的尺寸。夹头安装在变幅杆上，设计时既可将其当作变幅杆端部的负载，也可将其当作变幅杆的一部分进行设计。前文已指出，如钻头较短，则可将其视为等效质量在设计变幅杆时考虑进去；如钻头较长，则按半波长的整数倍叠加进行设计。显然，在深孔钻削时，钻头的磨损使其需频繁更换，影响生产效率和加工成本。

如应用局部共振理论来设计振动钻削装置的声学系统，可将换能器、变幅杆及夹头作为驱动部分进行设计，而工具杆则按局部共振原理单独进行设计，同样可保证工具杆与驱动部分的匹配，在刀尖处获得较大振幅。当钻头发生一定范围的磨损时，不需更换钻头，只需适当调整超声波发生器的输入频率即可。

作者根据局部共振原理设计了在立式钻床上使用的超声振动钻削装置，该装置固定在进给箱上，用于对工程陶瓷工件的小直径深孔进行钻削加工。设计时，将夹头作为变幅杆的一部分，并严格控制声学系统各部件之间的阻抗匹配，保证切削工具杆装到变幅杆上后能与换能器的振动频率产生共振。换能器和变幅杆均按共振频率(20kHz)进行设计，其长度均为半波长。切削试验表明，按局部共振原理设计的超声振动钻削装置加工效果良好。

5 结论

将变幅杆和工具杆简化为等效的数学模型，通过分析其动力学规律，发现当工具杆发生所谓局部共振现象时，整个系统实际上处于一种谐振状态。
分析发现，当不考虑阻尼影响时，变幅杆和工具杆的联接处为位移节点；考虑阻尼影响时，联接处应有一定振动。
根据局部共振原理设计的深孔振动钻削系统加工时不需频繁更换工具杆。当钻头产生一定量的磨损时，只需适当调整超声波发生器的频率，即可保证工具杆保持较大振幅，且超声波发生器的可调频率范围h与刀具杆的磨损率d满足关系式d=h/(1+h)。因此，将局部共振原理应用于振动钻削系统设计具有很大实用价值。