摘要： 提出了一种由人工神经网络与线性ARX模型相结合的集成模型，给出了其辨识训练方法.以此模型为基础，提出了一种多变量非线性预测控制算法.它利用线性预测控制的成果，得到一解析式的非线性优化控制输入，避免了通常非线性模型(包括普通人工神经网络模型)预测控制所需的在线数值寻优计算，节约了在线计算时间，提高了算法的可靠性和稳定性.进一步给出了在CSTR反应器上的仿真实验结果.
关键词： 预测控制； 多变量非线性系统； 人工神经网络； 集成模型； CSTR反应器
Multivariable Nonlinear Predictive Control based on an Integrating Model
Huang Daoping, Zhu Xuefeng and Zhou Qijie
(Department of Automatic Control Engineering,South China University of Technology*Guangzhou,510640,P.R.China)
Abstract: An integrating model combining the artificial neura l network with the linear ARX model and its identification method is proposed.based on that model,a multivariable nonlinear predictive control algorithm is persented.The algorithm employs the result of the linear predictive control,obtains explicit nonlinear optimal controlling inputs and doesnt need on-line numerical optimizing which is necessary in general nonlinear model (including ANN model) predictive control.That greatly decreases on-line computing consumption,strengthens the reliability of the algorithm and the stability of the system.The simulation results in CSTR are shown.
Key words: predictive control; multivariable nonlinear system; A NN; integrating model; CSTR
1 引言(Introduction)
预测控制(Model Predictive Control,简称MPC)是目前工业过程控制中最具生命力的控制算法之一.初期的预测控制是基于线性模型的线性预测控制，后来又发展了非线性预测控制(Nonlinear Model Predictive Control,简称NMPC)［1,2］.在NMPC中，采用一个非线性模型来预测过程未来之输出，在每个采样时刻，通过求解一非线性规划问题来对输入量、状态变量及输出量进行约束.然而，在实际应用中，这类算法由于本身的在线寻优迭代性质，使得计算时间相当长，而且在理论上尚未解决诸如收敛性、闭环系统稳定性等问题.本文提出一种将人工神经网络DLF网络(Direct Linear Feedthrough)模型［3,4］与多变量线性ARX模型相结合的集成模型，它可以描述大部分多变量非线性过程.以此模型为基础，提出了一种多变量非线性预测控制算法.此算法利用线性预测控制的成果，不需要在线数值寻优、计算量小.在CSTR反应器上的仿真实验表明了此算法的有效性和实用性.
2 一种集成模型的结构及辨识训练方法(Architectur e and identification training method of an integrating model)
2.1 集成模型的结构(Architecture of an integrating model)
此集成模型结构如图1所示，由两大部分组成：非线性静态DLF网络和动态线性ARX模型.DLF网络［3，4］与BP网络的唯一差别在于其输入层和输出层之间的直接联系，即输入层的每个神经元均与输出层相互联结.整个集成模型可由下面式(1)，(2)描述.
图1 一种（多变量非线性）集成模型的结构
Fig.1 Architecture of an integrating model
1) 静态(非线性)DLF网络模型(参照图1).
X(t)=WFU(t)+NBP(U(t)). (1)
其中，WF是一常系数矩阵，NBP(．)表示一多层前向BP神经网络映射.DLF网络实际上是由第一项的线性映射WF和第二项的非线性映射NBP(．)并联而成.
2) 动态线性MIMO ARX模型.
A(q-1)Y(t)=B(q-1)X(t). (2)
而
Y(t)≡［y1(t) y2(t) … yn(t)］T, (3)
X(t)≡［x1(t) x2(t) … xn(t)］T, (4)
U(t)≡［u1(t) u2(t) … un(t)］T. (5)
而A(q-1)和B(q-1)均是n×n的多项式矩阵(假设系统的输入输出数均为n个).
2.2 集成模型的辨识训练方法(Identification traini ng method to an integrating model)
如图1所示的多变量非线性对象的集成模型，可采用先训练DLF网络，后辨识ARX模型的方法： 1)静态DLF网络的训练.这部分描述的是对象的静态非线性特性.在获得多输入多输出过程在各个可能的不同工作点上的各输入输出静态(稳态)数据(可通过实验测取)后，首先用一线性代数方程组X(t)=WFU(t)来拟合多变量对象的静态数据，这将起到粗略拟合的作用.然后再计算对象静态输出与WFU(t)之间的差值E*(t)，再用E*(t)与实测的静态输入U(t)来训练一多层静态BP网络.这BP网络的训练可采用MATLAB Neural Network Toolbox中的标准训练程序来实现； 2) 动态线性部分MIMO ARX模型的辨识.在获得实际对象所有输入输出之间的动态数据｛U(t)｝,｛Y(t)｝后，利用前面已获得的静态DLF网络模型，将所有输入数据｛U(t)｝转换成中间变量数据｛X(t)｝.有了｛X(t)｝与｛Y(t)｝数据后，即可用线性辨识方法来确定式(2)中MIMO ARX模型的各参数.这可用MATLAB Identification Toolbox中的arx(．)辨识函数来实现.
3 基于集成模型的多变量非线性预测控制策略(Multi variable nonlinear
predictive control method based on an integrating model)
基于集成模型的多变量非线性预测控制(Predictive Control based on an Integrating Model，简称PCIM)系统之方块图如图2所示.其基本思想为：由于集成模型是由动态线性和静态非线性两部分构成的，基于其线性部分ARX模型，借助于线性预测控制思想，可设计出基于ARX模型的多变量线性预测控制算法，从而获得达到输出优化控制所需的中间控制变量X*(t).进一步，通过一定的方法，借助于静态非线性模型，实现从中间控制量X*(t)到实际控制量U(t)的变换，从而获得非线性优化控制所需的实际控制输入U(t).下面将简述实现上面二部分内容的具体方法.
图2 基于集成模型的多变量非线性预测控制系统方块图
Fig.2 Blick diagram of multivariable nonlinear predictive control sstem based on an integrating model
3.1 基于ARX模型的多变量线性预测控制算法(ARX model based multivariable linear predictive control algorithm)(PCARXM)
由于书写的原因，下面仅以二输入二输出系统为例导出基于ARX模型的线性预测控制算法(显然，将此算法推广到n输入n输出系统已不存在理论方法上的问题).对此，式(2)的ARX模型可改成如下具体的模型表达式：
其中(k=1,2,l=1,2)是模型系数，而nakl和nbkl(k=1,2,l=1,2)是相应输出变量和输入变量的阶数.在式(6)的两边乘以Δ=1-q-1，可得如下用输入量增量表示的关系式：
(7)其中系数：
(8)k=1,2,l=1,2.
根据式(7)，经推导可得模型未来R步输出的直接预测公式(推导过程略)：
式中
(10)iikm(t+p)是由过去输入量产生的预测部分.注意在式(10)中，km(i)=yk(i)(当i≤t时).另外，如果阶数nbkl≤p,则相应的项不存在.方程式(9)中的系数可由下式迭代算出：
(11)k=1,2, l=1,2, 1≤p≤R.
当优化长度为L时(L＜R,R为预测总长度)，在式(9)中，令ΔXl(t+j)=0(当j＞L时).预测公式(9)可写成如下矩阵形式：
(12)而
(13) (14) (15)G为预测系数矩阵(2R×2(L+1)矩阵)：
(16)考虑到模型误差及不可测干扰，得到修正后的预测值为：
Yc(t)=(t)+H(t). (17)
而
(18)H(t)≡［h1(t) h2(t) h1(t) h2(t) … h1(t) h2(t)］T, (19)
hk(t)是第k个输出预测值的修正项，定义为
hk(t)=yk(t)-k(t|t-1)， k=1,2. (20)
多变量系统的参考轨迹定义如下：
ykr(t+p)=αpyk(t)+(1-αp)yks(t),
k=1,2, p=1,2,…,R. (21)
yk(t)和yks(t)分别是第k个输出在t时刻的测量值以及相应的给定值.0≤α＜1是柔化因子.
定义参考轨迹向量如下：
Yr(t)≡［y1r(t+1) y2r(t+1) y1r(t+2) y2r (t+2)
… y1r(t+R) y2r(t+R)］T. (22)
为了求取优化输入ΔX(t),引入以下的二次型性能指标：
(23)其中Q和F分别为过程输出与输入加权(对角)矩阵.式(23)对ΔX(t)微分，并令其等于零，即可解得以下的控制律：
(24)在获得ΔX(t)后，一般地只有t时刻的控制量被执行.即ΔX(t)的第一行即为Δx1(t),第二行即为Δx2(t).则当前之控制量即可由下式算出：
xk(t)=xk(t-1)+Δxk(t), k=1,2. (25)
3.2 实际非线性控制输入的获取（Derivation of actu al nonlinear control input)
上述式(25)获得了希望对象输出跟踪参考轨迹所需的优化中间控制量X(t).但它尚不是实际对象的控制输入.从图1可以看出，X(t)与实际输入U(t)之间的关系由静态DLF网络模型描述(式(1)).现在的问题是：在中间控制量X(t)已获取的情况下，如何反过来求出优化的实际非线性控制输入U(t).
从式(1)可知，由于NBP(U(t))是由BP网络描述的非线性映射，所以在给定X(t)值的情况下，要从式(1)解出U(t)是困难的.为此本文采用了以下近似的计算公式(此时，采样周期不宜太大).将式(1)近似为
X(t)=WFU(t)+NBP(U(t-1)). (26)
上式中的WF是已知的n×n模型系数矩阵.这样从式(26)可求得所需的实际控制输入
U(t)=W-1F［X(t)-NBP(U(t-1)］. (27)
在必要时，可以对U(t)进行迭代修正.迭代修正公式如下：
U(k)(t)=W-1F［X(t)-NBP(U(k-1)(t)］. (28)
上式中，k表示迭代序号.首次的U(k-1)(t)从式(27)获得，所需迭代次数依实际情况而定.
4 CSTR反应器上的仿真研究(Simulation study to C STR)
连续搅拌釜式反应器(CSTR)的反应过程可由一非线性微分方程组来描述［5］:
(29)一单级不可逆放热反应A→B在反应器中进行.cA是生成物A的浓度；T是反应器温度；qc是冷却剂流量；q是进料流量.此例中，cA和T作为对象输出，qc和q作为对象输入.显然，这是一个二输入二输出、严重关联和严重非线性的系统.采样周期Ts=0.1分，DLF网络中的BP采用2-10-2网络结构，ARX模型中的输入输出阶数均采用2阶.控制系统框图如图2所示，仿真曲线如图3所示.从图3可以看出，对于严重关联的二输入二输出非线性系统，基于集成模型的多变量非线性预测控制(PCIM)能获得良好的控制效果.图4是在使进料成分cAf作-4%的阶跃变化时，多变量非线性系统(PCIM)的抗干扰过渡过程曲线.从图可以看出，PCIM有较好的抗干扰能力(且明显好于PCARXM).
图3 CSTR 多变量非线性PCIM控制曲线
Fig.3 Control curve of multivariable nonlinear
图4 CSTR进料成分CAf作-4%阶跃干扰时的响应曲线
Fig.4Output reponses for -4%changes of the feed compositionCAf
5 结束语(Conclusion)
本文提出的基于一种集成模型的多变量非线性预测控制算法，适用了大部分多变量非线性系统.特别是集成模型中采用了DLF神经网络模型，它不仅能很好地拟合各种复杂的非线性静态特性，而且方便于多变量非线性预测控制器的设计.此算法在集成模型的基础上，可以将线性预测控制的成果转化成非线性预测控制方法.其最大特点是在非线性优化控制量计算时避免了通常非线性模型预测所需的在线数值寻优计算，大大节约了在线计算时间，同时提高了算法的可靠性和稳定性.本文提出的建模和控制方法为多变量非线性过程控制提供了一种有效的控制手段.
