弹性并联机器人消减残余振动的研究

　　摘　要　弹性机器人运动停止后会产生残余振动，这将影响其输出构件的定位精度，本文提出了两种方法，即冗余驱动法和输入运动规划法来消减弹性并联机器人平台的残余振动，虽然这两种方法有着本质上的差别，但都能迅速消减弹性并联机器人平台的残余振动。
　　关键词　弹性机器人　并联机器人　残余振动　冗余驱动　输入运动规划
　　Abstract　The residual vibration, which appeared when the motion of elastic manipulators has been stopped, could affect the endpoint accuracy of the manipulators. This paper put forward two methods, i.e., redundantly actuating and input motion programming, to eliminate the plates residual vibration of elastic parallel manipulators. Though fundamentally different, the two methods can rapidly eliminate the residual vibration of the plates. So, both of them are effective.
　　Keywords　elastic manipulator　parallel manipulator　residual Vibration　redundantly actuation　input motion programming

　　用输入命令规划法和闭环控制法消减残余振动是两种常用方法。闭环控制法需要不断测量机器人的运动状态，从而控制其残余振动^［1，2］，这类方法需要加入复杂的反馈控制系统，因而在应用中有一定难度，输入命令规划法^［3，4］，则是构造弹性机器人的运动路径，并加以优化，从而使运动结束后的残余振动减小，但这种方法要在运动过程中实施，故对运动过程本身有一定的影响。对于弹性并联机器人^［5］来说，冗余驱动显然可以用来抑制其运动结束后的残余振动，这就是本文采用的第一种方法；同时输入运动规划法可以有效地消减平台的弹性振动，减小输出运动误差，这便形成了本文的第二种方法。

1　弹性并联机器人的动力学方程及其残余振动

　　图1所示为一种3-RRR型的弹性平面并联机器人，它由一个平台和三条腿组成，所有关节均为转动副，其平台为刚性体，三条腿均为弹性杆。文献［5］采用KED方法建立了它的运动方程如下

     （1）

式中：U∈R^18×1——机器人弹性运动的系统坐标列阵；
　　　M，K∈R^18×18——机器人系统的质量和刚度矩阵；
　　　P，Q∈R^18×1——广义外力和刚体惯性力，而Q＝M_r；
　　　_r——对应于U的刚体加速度列阵。
　　U由两部分组成，即：U＝［U^T_l，U^T_e］^T，其中U_l＝（u₁₁，…u₁₅，u₂₁，…，u₂₅，u₃₁，…u₃₅）^T为腿部的弹性运动，U_e＝（u₁，u₂，u₃）^T为由腿部弹性运动引起的平台弹性运动。

图1　机械人结构和系统坐标

　　当一个运动过程结束后，机器人的刚体运动停止，但由于此时的弹性运动仍在继续，因此机器人不能精确定位，此时的弹性运动即称为残余振动。
　　机器人在残余振动时，由于，因此Q＝0，而且M、K保持恒定，这样，残余振动的方程可以写为

     （2）

　　对于并联机器人来说，输出运动为平台的运动，因此消减残余振动应首先考虑抑制平台的弹性运动U_e。

2　冗余驱动消减残余振动

　　由于图1所示的3-RRR型机器人自由度为3，故机器人需要3个驱动器，这3个驱动器加于B_i处，驱动力为T_θi（i＝1，3)。冗余驱动即在这3个驱动器之外再加上若干个冗余驱动器，通过规化冗余驱动器的输入力，可以实现优化目标，本文在A_i处加上3个冗余驱动器，驱动力为T_αi（i＝1，3），则

　　规划T_αi，可以使U_e迅速消减，用Newmak逐步积分法求解式(2)的做法为
　　已知前一时刻的，则当前时刻的U（t）可以由下式求出

     （3）

式中

　　a₀、a₁、a₂的意义见文献［6］。
　　取优化目标为
　　minf＝U^T_eU_e     （4）

　　将

K_e，其中K₁∈R^15×18，K_e∈R^3×18，即K_e是的下3行组成的矩阵，则

     （5）

　　故式(4)可写为

     （6）

取

     （7）

式中：k_ei——K_e的第i列。
　　K^_e∈R^3×3，则式(6)可化为

     （8）

　　式中，T_α＝（T_α1，T_α2，T_α3)^T，f取极小值的充分条件为f对T_α的导数为零，即

     （9）

所以

     （10）

　　将求出的T_α代入P中，可以通过式(3)求出当前时刻的U_e。
　　理论上讲，通过式(10)求出的T_α可以使U_e＝0，但这种做法极易使积分发散，因此在实际计算时，为了使积分收敛，可以取

     （11）

　　式中，k为一个系数，0k1，可根据需要选取。
　　通过数值例可以看到，冗余驱动能在很短的时间内平抑机器人的残余振动。

3　输入运动规划消减残余振动

　　当机器人运动结束后，也可以采用输入运动规划法降低其残余振动，输入运动规划法即给机器人加上一个附加的输入运动，使之产生的平台附加运动与其弹性运动互相抵消，从而得到预期的定位精度。
　　对于不带冗余驱动的机器人，其KED方程为

     （12）

　　加上附加的输入运动后，机器人系统中又有了_r项，因此Q不为零。
　　设机器人输入位移为θ＝（θ₁，θ₂，θ₃）^T，输出位移为S_e＝（E_x，E_y，β）^T，对于输入位移变量δθ，可产生输出位移变量δS_e＝（δE_x，δE_y，δβ）^T，由于δS_e相对S_e来说是一个微小量，故可以由下式近似求得

　　δS_e＝Jδθ     （13）

式中：J——雅可比矩阵。
　　输入运动规划的目的是机器人输入位移中加上δθ，使其产生的δS_e与U_e相互抵消，即

　　δS_e＋U_e＝0     （14）

　　由于直接用式(14)求解δθ十分困难，因此本文将采用迭代法，求得δθ具体做法是：
　　(1)在给定时刻，由式(3)给出U_e(将式(3)中的P换成Q)；
　　(2)取δS_e＝－U_e，则S′_e＝S_e＋δS_e；
　　(3)由式(13)求出δθ，θ′＝θ＋δθ；
　　(4)将这个θ′带入机器人刚体运动方程求出新的M′，K′和U　**_r，在求解中采用近似法构造刚体速度和加速度，即

将这些值代入式(3)中，求出新的U_e；
　　(5)取为平台的真实弹性运动，再取，其中W为加权矩阵，判断是否成立(其中ε₀为给定误差极值)，若不成立，则转(2)再次计算；若成立则结束计算，取这时的δθ为输入运动附加值，可转入下一时刻的运算。
　　由数值例的求解得知，该方法可以得到满足精度要求的结果。其优点是无需改动机器人的结构，缺点是为了使平台保持相对静止，其腿部必须做附加运动，而且附加运动δθ随时间衰减较慢。

4　数值例

　　取一弹性平面并联机器人结构参数同文献［5］中数值例，以平台上E点坐标（E_x，E_y)和平台转角β表示机器人的名义运动，取其名义运动为

　　则自由状态的机器人平台振动如图2所示，其中时间在t＞π／5范围内的部分为其残余振动。
　　(1)冗余驱动消减残余振动
　　当t＞π／5时，刚体运动结束，机器人用冗余驱动减残余振动，其平台振动和应加的冗余驱动力如图3、图4所示。

图2　自由状态的平台余振

图3　带冗余驱动的平台振动

图4　冗余驱动器的驱动力

　　(2)输入运动规划消减残余振动
　　当t＞π／5时，机器人采用输入运动规划法消减残余振动。
　　取W为单位矩阵，ε₀＝10^－6，则平台的弹性振动ε_e和应加的附加输入位移如图5、图6所示。

图5　带输入运动规化的平台振动

图6　附加的输入运动

5　结论

　　本文分别采用冗余驱动和预加输入运动法，降低了弹性平面并联机器人平台的残余振动。这两种方法计算简单、有效。在降低残余振动方面，冗余驱动法和输入运动规划法有本质上的区别。冗余驱动法是直接抑制平台的残余弹性振动，输入运动规划法则没有直接抑制平台的振动，而是以腿部的附加运动换取了平台的相对静止，二者各有千秋，可以根据具体任务选择不同的方法。