数字积分法：也称 DDA 法 Digital Differential Analyzer) ，它是建立在数字积分器基础上的一种插补算法，其最大特点是易于实现多坐标插补联动，它不仅能实现平面直线、圆弧的插补，而且还可实现空间曲线的插补，在轮廓控制数控系统中得到广泛应用。以下首先介绍数字积分器的工作原理，然后介绍数字积分法的直线和圆弧插补方法。
一、数字积分器的工作原理
如图 3 — 8 所示，求函数 在区间 的定积分，就是求函数在该区间内与 t 轴所包围的面积，即
若将积分区间 等分成很多小区间 ( 其中 ) ，则面积 S 可近似看成为很多小长方形面积之 和，即
如将 取为一个最小单位时间 ( 即一个脉冲周期时间 ) ，即 ，则
因此函数的积分运算变成了函数值的累加运算，当 足够小时，则累加求和运算代替积分运算所引入的误差可以不超过所允许的误差。
积分运算的原理图如图 3 — 9 所示，它由一个被积函数寄存器 ，一个累加器 ( 又称余数寄存器 ) 和一个全加器 ，构成。每当出现一个 信号，便将被积函数寄存器 中的 值与累加器中的值累加一次。若累加器 的容量作为一个单位面积值，则在累加过程中累加器 的累加和超过累加器 的容量时，累加器便溢出一个脉冲，此脉冲即为一个单位面积值，累加结束后，累加器 总的溢出脉冲数即为所求面积积分的近似值。
其图 3 — 9 积分运算原理图累加次数取决于寄存器的位数。
二、数字积分法的直线插补
如图 3 — 10 所示，设直线 oA 为第一象限的直线，起点为坐标原点 o(0 ， 0) ，终点坐标为 A 。
该直线的方程式为
将上式化为以时间 t 为参量的参数方程：
式中， k 为比例系数。对上两式取微分得 ：
求上两式在 o 到 A 区间的定积分得 ： (3 — 7)
式中 和 分别对应起点和终点的时间。上式即为用数字积分法求 x 和 y 在区间 的定积分，积分值即为由 o 到 d 的坐标增量。因积分起点为坐标原点，所以此坐标增量即为终点坐标。
将式 (3-7) 用累加和代替积分式得 (3-8)
式中， k 、 、 均为常数。
若取 为一个脉冲时间间隔，即 =1 ，则
(3-9)
由上式有 kn=1 ，即
k=1 ／ n (3 -10a )
(3-10b)
选择 k 时应使每次增量 和 均小于 1 ，以使在各坐标轴每次分配进给脉冲时不超过一个脉冲 ( 即每次增量只移动一个脉冲当量 ) ，即
,
(3-11)
及 的最大允许值，受到寄存器容量的限制。设寄存器的字长为 N ，则 及 的最大允许值为 。为满足式 (3 — 11) 的条件：
即要求
通常取
则
这样既决定了系数 ，又保证了 和 均小于 1 的条件。
由式 (3 — 10a ) ， ，故累加次数为 ：
取 为一个脉冲时间间隔 ( 即 ) ，则由式 (3 — 8) 有
将 代人上两式，则
(3 — 12)
式 (3-12) 表明，可用两个积分器来完成平面直线的插补计算，其被积函数寄存器的函数值分别为 和 。对二进制数 ，即相当于 的小数点左移 N 位，因此在 N 位寄存器中存放 与存放 的数字是相同的，仅仅只要认为后者的小数点在最高位的前面。因此，进行数字积分法的直线插补计算时，应分别对终点 和终点 进行累加，累加器每溢出一个脉冲，则控制机床在相应的坐标轴上进给一个脉冲当量。当累加 次后， z 轴和 y 轴所走的步数正好等于各轴的终点坐标。
直线插补的终点判别，由容量与积分器中的寄存器容量相同的终点减法计数器完成，其初始值为 0 ，累加一次，终点减法计数器减 1 ，当累加 n 次后计数器为 0 ，直线插补结束。为保证每次累加只溢出—个脉冲，累加器的位数与 、 寄存器的位数应相同，其位长取决于最大加工尺寸和精度。数字积分法第一象限直线插补的程序框图如图 3-11 所示。下面举例说明数字积分法直线插补的计算方法。
例 3-3 设要加工直线 0A ( 见图 3-12) ，起点为坐标原点 0(0 ， 0) ，终点坐标为 A(5 ， 2) ，若被积函数寄存器 余数寄存器 和终点计数器 的容量均为三位二进制寄存器，则累加次数 ，插补前 、 、 ，均为零， 、 分别存放 ， ，插补计算过程如表 3 — 5 所示。直线插补时，被积函数寄存器中的数值在插补过程中始终保持不变。其插补轨迹如图 3 — 12 中的折线所示。由此可见，经过 8 次累加后 x 、 y 坐标分别通过 5 个和 2 个脉冲到达直线终点坐标。直线插补轨迹与理论直线的最大误差不超过一个脉冲当量。
当被加工直线较短，而寄存器和累加器的位数较长时，就出现累加多次才产生一个溢出脉冲的现象，此时进给速度就会很慢，从而影响生产率。故一般在编程时将 和 同时放大 倍，即改变溢出脉冲的位置来提高进给速度。但此时终点判别应作相应的改变。由于 和 同时放大 倍，使得溢出脉冲的位置右移了 m 位，因此累加次数应减少到 。
对不同象限的直线插补、若取终点坐标的绝对值，则计算过程相同。各坐标轴的进给方向如表 3－6 所示。
三、数字积分法的圆弧插补
面以第一象限逆圆为例讨论数字积分法圆弧插补的原理。如图 3-13 所示，设要加工圆弧为 AB ，起点为 ，终点为 ，圆心在坐标原点，半径为 R 。 为动点，则圆弧 AB 的方程式为
将上式对时间 t 求导得
（ 3-13 ）
式中， 为动点 P 在 x 方向的分速度； 为动点 P 在 y 方向的分速度。
将式 (3 — 13) 写成参量方程，则有
(3-14)
式中， k 为比例系数。
对式 (3 — 14) 求其在 A 到 B 区间的定积分， 和 分别对应起点和终点的时间，其积分值为 A 到 B 的坐标增量，即
，(3-15)
将式 (3-15) 用累加和代替积分式得
，若取 为一个脉冲时间间隔，即 =1 ，则
，
由此可见，与直线插补类似，圆弧插补也可由两套数字积分器来实现，如图 3 — 14 所示。两者之间所不同的是：直线插补被积函数为常量 ( 和 ) ，而圆弧插补被积函数为变量 ( 和 ) ，且随着溢出脉冲而不断变化。在起点时 、 分别存放起点坐标值 、 。在插补过程中， Y 积分器的累加器 ，每溢出一个脉冲，则 x 积分器的 寄存器应该加“ 1 ” ( 即 ) ；反之， X 积分器的累加器 每溢出一个脉冲，则 Y 积分器的 寄存器应该减“ 1 ” ( 即 ) 。图 3-14 中用“ + ”及“—”表示修正动点坐
此外，在圆弧插补时， x 坐标值 ( ) 累加的溢出脉冲作为 y 轴的进给脉冲，而 y 坐标值( ) 累加的溢出脉冲作为 x 轴的进给脉冲。在终点判别时，因圆弧插补的两个坐标不一定同时到达终点，故在两个方向上都要进行终点判别，其判别条件分别为
，
只有当两个坐标都达到终点的，才停止插补计算。
对不同象限的顺圆弧和逆圆弧的插补，若取终点坐标的绝对值，则计算过程相同，各坐标轴的进给方向如表 3 — 7 所示。
