摘要 从加工变距螺杆的生产需要出发，通过对渐开线性质的分析，设计了一套圆渐开线形齿轮的变速机构，添置在普通车床的传动链中，从而实现了变距螺杆的加工。
关键词：变距螺杆 匀变速运动机构 圆渐开线形齿轮
1 变距螺杆的设计要求
目前国产注射机的注射螺杆采用螺槽深度由深变浅的办法实现压缩原料、剪切搅动融料的目的。这种螺杆由于根部螺槽深，容易扭断。现设计一种螺槽深度相等、螺距由大变小的变距螺杆，也能完成物料的挤压任务。设计要求螺距依次为：
T，T+b,T+2b,T+3b,… （1）
如图1示，螺距按等差级数规律渐变。为了在普通车床上加工变距螺杆，当车床主轴等角速度ω转动时，刀架沿主轴(图1示为x轴)进给运动方程为：
x=f(t) （2）
可用阶差法判定方程(2)类型。由(1)知，时间t与位移x关系如右表。从表中看出，Δt为定值时Δ2x也为定值。因此断定方程(2)类型为：
x＝A＋Bt＋Ct2 （3）
用待定系数法，将表中任三点(t、x)之值代入式(3)，解联立方程组得系数：A＝0；
代入式(3)得刀架平移运动方程为：
（4）
刀架移动的速度和加速度为：
（5）
（6）
式(5)中，取t=0，得运动初速度为：
（7）
显然刀架进给运动为匀变速直线运动，车床改装的目标是要增置匀变速运动机构。
图1 变距螺杆
2 圆渐开线性质分析
图2所示为半径r的圆的渐开线，其参数方程为：
（8）
式中 θ——总滚动角
对式(8)微分，得：
dx＝rθcosθdθ
dy＝rθsinθdθ
图2 圆渐开线
那么，渐开线弧长l的微分为：
令θ＝φ0＋φ
式中 φ0——初始滚动角
φ——滚动角
则 dl＝r（φ0＋φ）d（φ0＋φ）＝（rφ0＋rφ）dφ
图2中，A0M0为初始回转半径，其长为ρ0，由渐开线性质知：
ρ0＝rφ0 （9）
dl＝（ρ0＋rφ）dφ （10）
φ角对应的渐开线弧段长
（11）
设φ＝0时，M点与M0点重合，l＝0代入式(11)得c＝0
则 （12）
图2中，渐开线瞬时回转半径AM之长为ρ，由渐开线性质知：
ρ＝ρ0＋rφ （13）
则 （14）
（15）
将式(12)、(14)、(15)、(9)分别与(4)、(5)、(6)、(7)对比，发现两组关系式结构形式完全相同。因此断定，可以用圆渐开线形运动来换置匀变速直线运动。
3 圆渐开线形运动机构
下面建立圆渐开线形运动与匀变速直线运动的当量关系。
比较式(12)与(14)，滚动角φ相当于时间t；单位：1弧度相当于1秒。
比较式(15)与(6)，基圆半径r相当于加速度a；单位：1毫米相当于1米/秒2。
比较式(14)与(5)，渐开线回转半径ρ相当于速度v；单位：1毫米相当于1米/秒。
比较式(12)与(4)，渐开线弧长l相当于位移x；单位：1毫米相当于1米。
根据车床主轴角速度ω，确定匀变速运动加速度如式(6)，a=bω2/(4π2)(b为螺距增量)。再以r=a(毫米)为基圆半径作渐开线形运动示意图，如图3示。
图3 圆渐开线形运动示意图
现将图3中渐开线变换为基圆在直线上纯滚动(直线不动)，则直线上的M点留在随基圆一起转动的图纸上的轨迹，即为该圆的渐开线。如图4示，A点为基圆瞬时转动中心，由力学知，基圆绕A点转动角速度等于基圆相对于圆心转动的角速度ω，直线AM之长为ρ，固连于基圆的渐开线与M点相重合之点的速度为vM，
vM＝ωρ
式中 ρ＝ρ0＋rφ φ＝ωt
则 vM＝ω（ρ0＋rωt）＝ωρ0＋rω2t （16）
设在发生线上有一半径为R、圆心为O′的圆，与渐开线在M点处相切(见图4)。随着渐开线连动基圆转动，圆O′与渐开线之间纯滚动，故相切点M速度相同。对于圆O′，vM＝ω′R；
式中ω′为圆O′绕其中心O′转动的角速度。由式(16)知
式中ωρ0／R与rω2／R为常数，故ω′为时间t的线性函数。这说明当基圆O在直线上匀速纯滚动时圆O′则绕其中心作匀变速转动。
图4 圆渐开线形成图
4 匀变速运动机构结构设计
将图4中基圆沿直线纯滚动分解为基圆中心沿直线的水平方向移动和基圆绕其中心的转动，将基圆中心固定，并解除直线AM在水平方向上的约束，则基圆绕定轴O转动时，直线AM作水平方向移动，如图5示，圆O′随直线AM水平移动，同时，圆O′绕O′匀变速转动。
图5 匀变速运动机构运动简图
图6是图5的匀变速运动机构结构图。当轴1匀速转动时，除带动圆渐开线形齿轮2匀速转动外，又通过以基圆为节圆的圆柱齿轮3，推动以发生线为节线的齿条4，齿条4与滑鞍5固连，所以滑鞍匀速水平移动。这时，装于滑鞍上的圆柱齿轮6受圆渐开线形齿轮2的推动而作匀变速转动，再通过轴7与一对锥齿轮8、9(锥齿轮9与轴10用滑键连接)，把匀变速转动的规律传递到定轴10上。
图6 匀变速运动机构结构图
1.轴 2.圆渐开线形齿轮 3.齿轮 4.齿条 5.滑鞍
6.齿轮 7.轴 8、9.锥齿轮 10.轴
普通车床的改装工作，可以不改变车床的原有结构，把上述匀变速运动机构做成一个独立的附件，由车床的挂轮箱处加进走刀系统。当车床主轴匀速转动时，刀架获得匀变速直线运动；当车床主轴非匀速转动时，由于在原车床传动链中添置上匀变速运动函数关系，故也不影响等差螺距的形成。
圆渐开线形齿轮制造是本结构设计关键问题，它是一个盘状多圈非圆齿轮，尺寸较大，为便于加工，可把齿圈分成几段加工后再固定于齿盘上，见图6示。各段轮齿可在加工中心、线切割机床和非圆齿轮加工机床上加工。
