摘要：本文针对一类非线性系统的跟踪控制问题，基于滑模等价控制的基本概念，提出了一种具有在线学习能力的模糊滑模控制方法，利用学习控制实现模糊控制规则的动态更新，使得模糊控制的输出逐步逼近滑模等价控制，最终实现渐近稳定的滑模控制。
关键词：自学习 模糊滑模控制 非线性系统 电液伺服系统
Research on multimedium teaching of the course in hydraulic power transmission
Zhu Zhengtao et al
Abstract:based on the concept of sliding mode equivalent control, this paper
presents a fuzzy sliding mode control method with self-learning capability
according to problems of tracking control of a kind of nonlinear systems. Using the learning control, the renewal of fuzzy control rules and the output of fuzzy control approaching the equivalent control of sliding mode are completed. Finally, theasymptotically stable sliding mode control is accomplished. Taking aelectrohydraulic servo system as an example, the simulation result shows that
the method is effective.
Keywords:Self-learning Fuzzy sliding mode control Nonlinear system
Electrohydraulic servo system
1 引言
滑模控制近几十年来从理论到应用都得到了相当快的发展，这主要是由于滑模控制是一种比较有效的鲁棒控制方法，并且系统的动特性可以通过滑模设计来预先设定，无论是对线性系统还是非线性系统，滑模控制都显示出良好的控制特性，但是，在实际控制中，滑模控制的抖动和高增益控制仍然限制着滑模控制的实际应用。如常规模糊控制在很大程度上依赖于专家的经验和实验，并缺乏系统的稳定性分析和鲁棒性分析方法。此外，对一些比较复杂的控制对象，模糊控制很难获得令人满意的控制精度。为此，文献［1］、［2］提出了模糊滑模控制的基本思想，在传统滑模控制中引入模糊控制的设计方法，获得了优于模糊控制的结果，并大大削弱了传统滑模控制所存在的抖动现象。文献［2］还表明，包含边界层的滑模控制等价于模糊控制。本文基于文献［3］模糊系统是万用的逼近器这一结果，针对一类不确定性非线性系统的跟踪控制问题，应用模糊逻辑系统来逼近滑模的等价控制，提出了一种具有自学习能力的模糊滑模控制方法，通过在线学习，动态地更新模糊控制的规则，以使得模糊控制的输出沿使滑模渐近稳定的方向逐步逼近滑模的等价控制，并把这种方法应用于电液伺服系统的跟踪控制问题，获得了满意的仿真控制结果，这种方法具有良好的跟踪精度，同时也保持了滑模控制鲁棒性强的特点，理论和仿真都证明了自学习模糊滑模控制系统是在李雅普诺夫意义下渐近稳定的。
2 问题的描述
考虑如下一类仿射非线性系统
(1) 其中：是系统的状态向量，f(x)、b(x)是非线性
函数，且其精确值未知，u、y分别是系统的控制输入和系统的输出，控制目标是当系统(式(1))的f(x)、b(x)、d(x)(有界扰动)存在不确定性时，系统的输出y能渐近跟踪期望的输出xd。
3 自学习模糊滑模控制器设计
(1) 滑模控制
取跟踪误差向量为：e=xd-x=［e,…，e(n-1)］T，代e入(1)式得系统的误差状态方程为：
e(n)=x(n)d-x(n)
=-(f(x)+b(x)u+d(t))+x(n)d(2)
选取滑模切换函数为：
s=cTe=c1e+c2+…+e(n-1)，(ci>0)(3)
由=0可求得滑模等价控制为：
(4) 当b、f、d精确已知时，由式(4)可直接求得ueq，根据滑模控制的基本理论［4］，控制律取如下结构
u=ueq+us(5)
这里us是一非线性控制，其作用是产生滑模，在后面，将给出us的定义。
但是，在实际控制中，b、f、d常常存在着一些不确定性因素，如参数不确定性、非线性引起的不确定性等，使得等价控制(产生滑模运动所需要的平均控制)无法直接获得，在这种情况下，基于文献［3］、采用模糊系统来逼近滑模等价控制ueq，这样，式(5)则修改为
u=uf+us(6)
其中，uf是模糊控制器的输出，由下面的设计过程确定。
(2) 模糊控制器设计
就滑模控制而言，s和分别表示了任意描述点到滑动面的相对距离和到达滑动面s=0时的相对速度，所以，选择s、作为模糊控制的输入变量，则模糊控制的输出uf由下述m条模糊控制规则R1，R2，…，Rm来确定，其中第j条规则可表述为
Rj：If s is A1j(m1j,σ1j) and is A２j(m２j,σ２j)
Then ujf=Pj (j=1,2,…,m)(7)
其中：A1j(m1j,σ1j)和A２j(m２j,σ２j)分别是模糊集A1(m1,σ1)和A２(m２,σ２)的模糊子集，A1(m1,σ1)和A２(m２,σ２)分别对应于模糊输入变量s和，本文采用高斯型隶属函数
μA（x）＝exp［-（（x-m）／σ）2］(8)
所以，模糊集A可表示为A(m,σ)。μjf表示当第j条规则满足时模糊控制器的输出。
定义每条规则的作用强度为：
wj=min(μA1j(s),μA２j),(j=1…m)(9)
其中μA1j(s)和μA２j分别是模糊输入变量s和在其对应模糊子集A1j(m1j,σ1j)和
A２j(m２j,σ２j)上所计算的隶属函数值。则根据加权平均反模糊化可以求得模糊控制器的最终输出为
其中：w=［w1，…，wm］T
p=［p1，…，pm］T
这里，p是未知的结果参数向量，可以通过下面的学习控制方法来获得。
(3) 学习律及us的设计
学习的目的是为了实现自动修改(或更新)模糊控制的输出结果参数pj(后件参数)，以致使模糊控制的最终输出uf沿使滑模渐近稳定的方向逐步逼近滑模等价控制ueq，从而使系统的状态保持在滑动面上并沿滑动面运动。
为了推导学习律，首先做如下假设：
假设1：在(1)式中的b(x)及其估计值(x)满足下式：
据文献［5］，一般可以选取为：
(12)
假设2［5］［6］［7］：向量集T=［s,］T是一紧集且T∈Rn,存在一组结果参数向量
p=p*=［p*1,p*2,…,p*m］T,使得下式成立
(13)
其中：
令 则
(14)
对(3)式两边求导，再利用式(2)、式(4)、式(5)可得：
=b(ueq-uf-us)
∴ s=sb(ueq-uf-us)(15)
选取如下李雅普诺夫函数
(16)
其中：按(12)式选取。
对(16)式两边求导，则
选择us如下
us=K0s+K1sgn(s)(17)
其中：K0＞0，K1＞0
由式(13)、(14)、(17)可得：
(18)
选取：
则有：
(20) 式(20)的结果表明，当用模糊控制的输出uf来逼近滑模等价控制ueq，能保证原点的稳定性，并且，滑动模态也是李雅普诺夫意义下渐近稳定的，从而，当t→∞时，下式成立
(21)
式(18)也可以表示为：
(22)
综上所述，可以得出如下定理
定理 对于由(1)式描述的系统，当采用式(6)、(10)、(17)所给的控制律以及式(18)所定义的学习律，则该控制系统及滑动模态是李雅普诺夫意义下渐近稳定的，当t→∞时，系统的跟踪误差沿滑模收敛至零。
注意：一般取β为0＜β＜1，当s=0时，模糊控制器的输出pj停止更新，模糊控制直接施加控制于受控对象。β的初值取：
4 实例仿真
考虑某电液位置伺服系统
(23)
其中：yp是系统的输出位移；
α=［α1，α２，α３］T 是系统的参数向量，Δα是参数向量的不确定性；
b(x)＞0，是一非线性函数，F是有界扰动。
对上述系统(式(23))自学习模糊滑模控制器设计步骤如下：
(1) 确定模糊控制的语言变量及其论域
选择s和作为语言变量，其论域均为［-1，1］
取 (24)
其中：c1＞0,c２＞0，且c1、c２按常规滑模设计方法选择。e=xd-x1，xd是期望的系统输出信号。
(2) 选择语言值及相应的隶属函数
每个语言变量分别取五个语言值(五个模糊子集)，其相应的高斯型隶属函数为：
(i=1,2分别对应于s和两语言变量)
其中：σ=0.01，相应的语言值分别为：
(3) 建立模糊规则库
本文选取25条模糊规则构成模糊规则库：
(4) 按式(22)学习律求pj(k)=pj(k-1)
(5) 按式(10)求uf，注意：一般pj的初值均取为0。
(6) 按式(17)得us。
(7) 最后由式(6)得到自学习模糊滑模控制的控制输入量u。
注意：为了进一步消除抖动，式(17)中的sgn(s)(符号函数)可用下面的饱和函数sat(s/φ)代替［2］：
其中：取0＜＜1。
图1和图2分别是上述自学习模糊滑模控制方案对正弦信号(xd=sin10πt)和方波信号(频率为2.5Hz)跟踪响应结果。仿真结果表明：本文所提出的自学习模糊滑模控制器具有良好的跟踪特性并能获得满意的跟踪精度。
图1 跟踪正弦信号的输出响应曲线
图2 跟踪方波信号的输出响应曲线
5 结论
对存在不确定性的一类非线性系统，采用本文所提出的控制方法，能获得渐近稳定的滑模控制和满意的跟踪精度，该方法不需要系统的精确模型和不确定性界的知识。学习方法的引入克服了常规模糊控制规则不容易确定、主观性强的不足。
