摘要：本文结合斜盘型轴向柱塞泵缸体优化设计，采用了浮点数编码和惩罚函数适应值度量下的遗传算法，对有约束的实参数最优化问题作了初步研究。结果表明，遗传算法对此问题不仅是可行的，而且还显示出了其全局寻优的优势。
关键词：遗传算法 柱塞泵优化
Self-leanning fuzzy sliding mode control and its application to electrohydraulic
servo system
Duan Suolin et al
Abstract:Combining the optimum design on the cylinder of the swash plate axialpiston pump, this paper discusses how to apply the Genetic Algorithms with floatcode and punitive function to the optimum design with several real parameters.
Keywords:Optimization Genetic Algorithms
1 引言
遗传算法〔1〕(Genetic Algorithms:GA)作为一种随机搜索算法，与传统优化方法相比，在搜索过程中不容易陷入局部最优，即使在所定义的函数是不连续的、非规则的或有噪声的情况下，它也能以很大的概率找到整体最优解，因此在组合优化等许多领域得到了成功的应用。
机械优化设计是现代优化设计中的重要组成部分，但是，遗传算法在机械优化设计中的应用却受到很大限制。这主要是因为机械优化设计中的问题通常为有约束实参数最优化问题，而遗传算法的常见编码方式为二进制编码方式。在二进制编码表示中，在其串长度一定的情况下，较大的变量变化区域会导致二进制表示的精度不够，而为了提高二进制表示精度，采用更多的位，却会使算法速度下降。两者的矛盾造成了应用的困难。所以，对实参数有约束最优化问题的研究是遗传算法的难点之一。
本文针对上面的问题作了初步的探索，尝试采用惩罚函数将有约束的问题转化为无约束问题，并在遗传算法中采用了浮点数表示方法及其相应的遗传算子操作，从而避免了采用二进制编码所导致的对表示精度的限制。以此为基础，针对斜盘型轴向柱塞泵缸体结构优化设计问题进行了研究，并获得了满意的结果。
2 有约束最优化问题的遗传算法
(1) 染色体的构造
通常，采用遗传算法时，所进行的二进制编码不仅要进行二进制转换，而且表达的精度也会受到限制，假设优化设计中只有一个设计变量X。其上限为A，下限为B，用二进制表示的精度为(A-B)/n(n为二进制串的位长度)。若A-B=1cm，则q=1/ncm。当n=8时，q=0.125cm；当n=16时，q=0.0625cm，当n=32时，q=0.03125cm。由此可见，采用二进制串表示一个设计变量，即使其串长度达到32位，也无法达到机械设计常见的0.01的精度要求，而这在多设计变量中问题会更加突出。
为了解决这一问题，本文直接采用浮点数表示方案。在浮点数表示中，各代成员都是用染色体表示，染色体为参数矢量=(x1，x2，…，xm)∈Rm，其中的等位基因xi均为实数。浮点数表示法的精度依赖于计算机，但一般来说比二进制表示高得多。此外，浮点数能够表示非常大的区域，而在二进制串长度一定的情况下，区域规模的增大会导致二进制表示的精度下降。
(2) 评价函数的选取
机械优化设计常常是有约束的优化设计。在有约束的优化设计中，要找到一个可行解与找到一个最好的解几乎是一样的困难。为了从不可行解中获得必要的信息，引入惩罚函数将有约束问题转化为无约束问题。
考虑约束最小化问题，其形式为min g(x)，且使bj(x)≥0，j=1，2，…，m。将它转化为无约束形式。即构造并求式中：
maxF(x)(1)
F(x)=G(x)·P(x)(2)
(3)
(4)
(5) 其中，k和β都是常数：当g＞0时，β=1；当g0时，β=-1。P(x)是违反约束的惩罚函数，G(x)是度量解的质量。
在适应值的计算过程中，同时引入了适应值比例变换机制，若原函数为F，比例适应函数为U，指数比例变换满足关系式：U(F)＝exp(-β*F)，从表1和表2可看出指数比例变换的作用：
群体中有6个串，其中一个串的适应值很大。现在进行β=0.01的指数比例变换，原值和变换后的值见表1，可发现经变换后群体差异缩小了。
表1 β=0.01时适应值和比例变换值
(F)
(U)
表2。可发现经过变换后群体差异缩小了。
表2 β=0.1时适应值和比例变换值
(F)
(U)
(3) 遗传算子操作
① 选择规则。选择规则的作用是把当前群体中的个体按与适应值成比例的概率复制到新的群体中。在通常情况下，采用轮盘赌选择机制，其主要步骤如下：
a.计算群体中所有染色体适应值的和：S=Σfi
b.计算随机值m=RAND(O，S)。
c.从群体中编号为1的染色体开始，将其适应值与后继染色体中的适应值相加，直到累加和大于或等于m。
最后加进去的染色体就是要选择的染色体。
② 杂交规则。由于采用了浮点数编码方案，因此，它的杂交算子和下面的变异算子都必须具有数值特点。
杂交算子的定义为求两个向量的线性组合，即如果第t代的个体Sv和Sw杂交，则产生的子代为：
St+1v=aStw+(1-a)Stv(6)
St+1w=aStv+(1-a)Stw(7)
③ 变异规则。变异算子定义为：如果第t代个体为Xi=(V1，…，Vn)，则每个分量Vk完全相同的以概率进行变异，一次变异的结果为(V1，…，Vk′，…，Vn)，1≤k≤n，Vk的值按下面随机方式决定：
Δ(t，y)=y〔1-r(1-t/T)*b〕(9)
其中，LB和UB分别为第k个参变量定义域的左右界，r是〔0，1〕上的随机数，T是遗传算法中的最大代数。
(4) 停止准则
遗传算法已经迭代了预置的代数，或者获得了满意的结果。
3 斜盘型轴向柱塞泵缸体优化设计的GA算法
(1) 斜盘型轴向柱塞泵缸体优化设计的数学模型
斜盘型轴向柱塞泵是泵的主要品种之一，它的优化设计要求在满足泵的性能(排量q)强度和刚度要求的前提下，尽量使泵的结构紧凑(即体积小，质量轻，用材少)。因此它是一个多设计变量、多约束、实参数最优化问题。根据参考文献〔3〕所得的缸体设计理论模型，可以建立如下的优化模型(其结构及参数见图)：
设计变量取为
目标函数为
F(X)=Vc=π〔(D2-d21)(l+Δl-zx21l)〕/4-zs0Δl(11)
求取F(X)的最小值min F(X)。
式中：D=2R+2δ+x1
δ=min(δ1,δ2)
δ1=2Rsin(π/z)-x1
δ2=R-x1/2-d1v/2
R=4qth/(zx1tgβ)
l=x2＋2Rtgβmax+△H
缸体结构参数示意图
约束条件
缸体强度条件为：
缸体刚度条件为：
(13)缸孔与柱塞接触强度条件为：
g3(X)=2Frl/x1-〔p〕≤0(14)
柱塞最大相对滑动速度约束条件：
g4(X)=Rπntgβmax/30-〔υmax〕≤0(15)
比功率条件为：
g5(X)=R(πn/30)(2/x1)(Frl)φ＝75tgβmaxsin75°-〔pυ〕≤0(16)
为保证几何长度d，ll，δ必须为正值而产生的约束条件：
g6(X)=-x1≤0(17)
g7(X)=-x2≤0(18)
g8(X)=-δ≤0(19)
为保证分母项始终大于0而产生的约束条件：
g9(X)=f(3L0/x2-2+ll/x2)sinβmax-cosβmax≤0(20)
(2) 缸体优化设计的遗传算法
缸体优化设计的遗传算法如下：
Step 1 初始化
输入参数：柱塞数Z
算法参数Pc，Pm，Pop_size，max_gen
Step 2 产生初始种群。
Step 3 计算每一个染色体对应的评价值I=1
① 按2之(3)中的惩罚函数法和适应值比例变换机制计算个染色体的适应值f1。
② I=I+1，若I＞Pop_size，则转向Step4；否则转向 Step3之①
Step4 停止准则：
满足下列条件之一，则算法停止：
① 迭代数＞max_gen；
② ft+1-ft＜ε
否则转向Step5。
Step5选择
采用2之(3)①的轮盘赌选择机制。
Step6 杂交
采用2之(3)②杂交规则进行杂交。
Step7变异
采用2之(3)③的变异规则进行变异。
然后转向Step3。
4 计算结果及其分析
根据以上的步骤，获得了表3的计算结果：
表3 优化结果
(cm)
(cm)
(cm)
(cm)
(cm)
(cm)
(cm)
(cm)
(kN)
(1) 表3中的Vc和d的变化关系，符合参考文献〔3〕中得出的结论：在 0＜d＜2cm的区间内，d的微小增加会使Vc很快减小。
(2) 把用遗传算法得到的Vc的优化值和参考文献〔3〕中用随机搜索算法得到的值加以比较，可以发现前者优于后者，表明了遗传算法在搜索过程中具有全局优化的特点，也进一步表明了将遗传算法用于实参数、有约束最优化问题是可行的。
(3) 为了使用浮点数编码方案而采用的两个向量线性组合的杂交算子对模式具有高度的破坏作用。参考文献〔2〕中提出了采用两种杂交算子，即以50%的概率用线性组合的杂交，50%的概率用实域杂交，对这种方法的有效性，还有待于进一步研究。
