基于Stewart机构并联加工机的插补算法

　　摘　要　目的　研究基于Stewart机构的并联加工机的插补算法。方法　利用通常的时间分割插补算法思想和并联加工机构逆运动学模型，求解刀具运动轨迹与6根伸缩杆之间的关系，导出一种插补算法，并采用面向对象的程序设计方法编制仿真软件，通过计算机仿真验证该插补算法的可用性。结果与结论　对球面类和双曲面类零件加工过程仿真结果表明，所提出的插补算法是正确、实用的，为并联加工机提供一种新的可行的插补算法。
　　关键词　Stewart机构；并联加工机；逆运动学；插补算法；轨迹规划
　　分类号　TH161.22；TP271.2

Interpolation Algorithm of Parallel Connected
Machine Tool based on Stewart Mechanism

Zhang Junliang Zhang Jianmin Hao Juan Jiang Ming Wang Xinyi
(School of Mechanical Engineering and Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing　100081)

　　Abstract　Aim　To research the interpolation algorithm of parallel connected machine tool based on stewart mechanism.Methods The common idea of time-discrete interpolation algorithm and the inverse kinematics model of parallel connected machine tool were used to evaluate the relation between tool motion path and six telescopic legs and to derive one kind of interpolation algorithm.Object oriented program design method was adopted to work out the simulation software and the availability of the interpolation algorithm was testified by computer simulation.Results and Conclusion Simulation results of machining process of sphere parts and one-sheet-hyperboloid parts show that the interpolation algorithm proposed is correct and practical, providing a new and feasible interpolation algorithm for parallel connected machine tool.
　　Key words　stewart mechanism; parallel connected machine tool; inverse kinematics; interpolation algorithm; path planning

　　基于Stewart机构的并联加工机是一种新颖的、具有广阔前景的机床。与普通数控机床相比具有几个显著的特点：切削力由6根轴承担，且仅受拉力或压力，因而机床变形小，承载能力强；机构刚度好，运动部件的重量轻，故惯性小，可以进行较高的加减速运动；没有导轨，可以排除通常的几何误差及磨损等对精度的影响，因此可获得很高的加工精度。
　　由于求解Stewart机构的逆运动学^［1，2］(根据末端工具的位置和姿态，求解各个关节变量的值)较简单，且符合机构位置控制思想。故可利用该特点建造并联加工机的逆运动学模型。

1　并联加工机逆运动学

　　并联加工机的逆运动学由两部分组成，即Stewart并联机构的逆运动学和刀具位姿与并联机构动平台位姿之间的关系。

　　Stewart机构简图如图1所示。设动平台中心O′和动平台的球铰中心P_i点在固定坐标系中的坐标为(x_O,y_O,z_O)^T,(x_i,y_i,z_i)^T，而P_i点在动坐标系中的坐标为(x_Pi,y_Pi,z_Pi)，定平台的球铰中心b_i在固定坐标系中的坐标为(d_i,e_i,f_i)(i=1,2,…,6)，则下式成立：

［x_i y_i z_i］^T=T［x_Pi y_Pi z_Pi］^T+［x_O y_O z_O］^T，　　　　　　　　　　(1)

图1　Stewart机构结构简图

式中　T是用欧拉角α，β，γ表示的旋转变换矩阵，

　　由两点间的距离公式得出

　　设在与动平台固联的动坐标系中，刀具刀尖点P_t的相对坐标为(x_Pt,y_Pt,z_Pt)=(0,0,-l_t),l_t为刀尖至O′的距离。则

［x_O y_O z_O］^T=T［x_t y_t z_t］^T+［T₁₃ T₂₃ T₃₃］^Tl_t。　　　　　　　　(4)

　　设刀具轴线的单位矢量为n_x,n_y,n_z,刀具与固定坐标系坐标轴的方向余弦角为θ_x,θ_y,θ_z。
　　因为旋转矩阵式(2)的最后一列正好是动坐标系z轴的单位矢量，所以也与刀具轴线的单位矢量相重合。

α=±arcsin(cosθ_x/sinθ_z), β=±θ_z。　　　　　　　　　　　　(5)

　　当n_y≥0时，式(5)取负号；当n_y＜0时，式(5)取正号。当欧拉角γ=-α时，动平台不绕刚体坐标系z轴转动，这样既减少了运算量，又在很大程度上避免6根伸缩杆之间的干涉。

2　基于并联加工机逆运动学的时间分割插补算法

　　时间分割法即数据采样插补法^［3］，是把加工一段直线或圆孤的整段时间细分为许多相等的时间间隔，称为单位时间间隔(或插补周期)。每经过1个单位时间间隔进行1次插补计算，算出在这一时间间隔内各坐标轴的进给量，边计算边加工，直到加工终点。此算法的核心是求刀具运动轨迹与6根伸缩杆之间的几何关系。

2.1　直线插补算法

　　选定CNC的插补周期及确定进给速度之后，轮廓步长f就随之确定。因此，只要求出各插补周期末刀具的位置和姿态即可用逆运动学公式求出6根杆的伸缩增量，直线插补示意图示于图2。

图2　直线插补示意图

　　设直线与z轴的夹角为γ，其投影与x轴的夹角为α，则轮廓步长f()在3个坐标轴上的投影为fsinγcosα，fsinγsinα，fcosγ。设B点坐标为(x_B,y_B,z_B)，则C点的坐标为

x_C=x_B+fsinγcosα,y_C=y_B+fsinγsinα,z_C=z_B+fcosγ．　　　　　　(6)

　　刀具有定姿态和变姿态两种给定方式：定姿态方式不需要计算旋转矩阵，运算量较小；变姿态方式需要求出插补周期末刀具的姿态，计算旋转矩阵，运算量较大。有了刀具的位姿即可用逆运动学公式求6根伸缩杆的伸缩增量^［4］。

2.2　圆弧插补算法

　　圆弧插补也需要求出插补周期末刀尖的坐标和刀具的姿态。圆弧插补示意图如图3所示。设圆弧所在平面过z轴，并且圆心与坐标原点O重合。则轮廓步长f(，并设，)在3个坐标轴上的投影为fcos(γ+Δγ/2)cosα，fcos(γ+Δγ/2)sinα，-fsin(γ+Δγ/2)，Δγ=f/r(r为圆弧半径)。

图3　圆弧插补示意图

　　设B点坐标为(x_B,y_B,z_B)，则点C的坐标为

　　空间曲面(以球头铣刀铣球面为例)的加工，一般选择刀具的姿态(刀具轴线)与圆弧所在曲面的切平面垂直，根据曲面方程确定刀具的姿态。刀具的位姿确定后，运用逆运动学求6根伸缩杆的伸缩增量。
　　由于插补算法中包含Stewart机构的逆运动学运算，直线插补和圆弧插补的计算量都比数控机床的直线插补和圆弧插补计算量大。这说明基于空间并联机构机床的机械结构非常简单，而数学分析非常复杂^［5，6］。

3　仿　真

　　该仿真程序采用面向对象的程序设计方法，用Visual C⁺⁺ MFC编写。目的是为了检验机构逆运动学模型及插补算法的正确性。用球面类零件检验圆弧插补算法，用单叶双曲面类零件来检验直线插补算法。图4为6杆插补算法的流程框图。Stewart机构参数为：动平台半径为400mm，定平台半径为500mm，两平台长短边比均为0.365，伸缩轴的最大长度为1500mm，最短长度为600mm，轴的直径为40mm。对于球面类零件取半径为100mm，角度为60°，位置为980mm。刀具长度为30mm，直径为5mm。对于单叶双曲面类零件取半径为100mm，角度为20°，位置为980mm。刀具长度为200mm，直径为5mm。通过仿真，验证了基于并联加工机逆运动学模型的插补算法的正确性。

图4　插补算法流程框图