摘要：介绍一种可精确计算渐开线花键拉刀倒角齿测量值的新算法，并编写了该算法的C 语言计算程序。

图1 渐开线花键齿形
图2 r_A的精确计算

1 问题的提出

我厂生产的渐开线花键齿轮出口产品对齿轮倒角提出了严格要求，因此设计加工该齿轮用的渐开线花键拉刀时，必须对拉刀倒角测量值进行精确计算。

对于图1 所示的渐开线花键齿形，已知花键的模数m、齿数z、压力角a、小径r_a、分度圆齿厚s、基圆半径r_b、倒角长度a、倒角角度b等参数，对拉刀倒角测量值h(图1中的EO值)的原计算方法步骤如下：①ch=acotb；②r_A=r_a+ch；③分度圆齿槽宽w=pm-s；④倒角终止处齿槽宽w_A=AB︵=2r_A(w/mz+inva-inva_A)，式中a_A=arccos(r_b/r_A)；⑤w_A对应弦长AB=2r_Asin(180wA/2pr_A)；⑥CD=AB+2a；⑦d=arcsin(CD/2r_a)；⑧d_x=90°-b-d；⑨h=EO=r_acosd_x。分析上述计算步骤可知，(3)～(9)理论上均正确。但由图1可知，r_A并不等于r_a+a，而是小于r_a+a。因此，按r_A=r_a+a计算出的r_A并非精确值，而是近似值，这就是该计算方法的不足之处。因此，必须采用经改进的新算法对r_A及h进行精确求解。

2 r_A的精确求解

建立如图2 所示坐标系，设点C(x₀，y₀)，A(x_A，y_A)。由图2 可知：x_A=x₀+a，y_A=y₀+acotb，故A点坐标为A(x₀+a，y₀+acotb)，因此有 r_A=[(x₀+a)²+(y₀+acotb)²]^½(1)

由于C点在花键小径上，故有 x₀²+y₀²=r_a²(2)

由于A 点在渐开线上，故有 q=tana_A-a_A(3)

由图2可知 a_A=arccos{r_b/[(x₀+a)²+(y₀+acotb)²]^½}(4)

联立式(3)、式(4)，有 q=tan(arccos{r_b/[(x₀+a)²+(y₀+acotb)²]^½})-arccos{r_b/[(x₀+a)²+(y₀+acotb)²]^½}(5)

由图2可知 q=1EF︵-d2r_b(6)

式中d=-arctan(x₀+a)/(y₀+acotb)

由于EF︵实质上就是基圆齿槽宽W_b，而W_b的计算公式为 W_b=wcosa+mzcosainva(7)

因此，将式(7)代入式(6)可得 q=1wcosa+mzcosainva+arctanx₀+a2r_by₀+acotb(8)

令式(5)=式(8)，可得 q=tan(arccos{r_b/[(x₀+a)²+(y₀+acotb)²]^½})-arccos{r_b/[(x₀+a)²+(y₀+acotb)²]^½}=1wcosa+mzcosainva+arctanx₀+a2r_by₀+acotb(9)

联立式(2)和式(9)，可得方程组 x₀²+y₀²=r_a²q=tan(arccos{r_b/[(x₀+a)²+(y₀+acotb)²]^½})-arccos{r_b/[(x₀+a)²+(y₀+acotb)²]^½}=1wcosa+mzcosainva+arctanx₀+a2r_by₀+acotb(10)

在式(10)中，除x₀，y₀外，其它参数值均已知或可求出，因此理论上可通过该方程组求解x₀，y₀ (实际上x₀，y₀的求解计算非常繁琐，因此必须借助计算机进行编程计算)，然后根据式(1)求出r_A的精确解。将r_A的精确解代入第一节介绍的计算步骤，即可求得精确的拉刀倒角测量值h。

图3 试值法求解方程组流程图

3 方程组的试值法求解

在式(10)中，x₀，y₀既存在于根号下，又存在于三角函数、反三角函数中，因此用常规算法很难解出。为此可采用试值法求解。

将式(10)中x₀²+y₀²=r_a²变形为y₀=(r_A²-x₀²)^½。对于每一给定的x₀值均有对应的y₀值，因此可确定C 点坐标C(x₀，y₀)，且点C(x₀，y₀)位于圆x₀²+y₀²=r_a²之上。由于A点坐标为A(x₀+a，x₀+acotb)，因此A点也可随之确定。下一步只须判别x₀，y₀是否符合式(10)(即A点是否在渐开线上)，如符合，则x₀，y₀即为方程组的解。由于式(9)实质为式(5)=式(8)，因此可将其变形为式(5)-式(8)=0。由于式(5)、式(8)的值均为实数，要使二者绝对相等比较困难，因此这里只需将二者差值控制在某一范围内即可认为两式相等，如当-0.00001≤式(5)-式(8)≤0. 00001时可认为两式相等，即x₀，y₀符合式(10)，为方程组的解。

求解时需要选取x₀的初值。若对x₀采取递加计算，x₀初值必须取在C点左边；若x₀初值取在C点右边，则应对x₀递减计算。计算时x₀初值由计算机自动选取。

采用试值法求解方程组的程序流程如图3所示。

4 计算程序与实例

为提高求解方程组的计算效率，采用C语言编写了以下计算程序。虽然采用试值法(对x₀试值)求解，但不需人工输入x₀初值(由计算机自动选取)。只需输入渐开线花键参数，即可获得计算结果。

# include "stdio. h"

# include "math. h"

# define PI 3.141562652

double inv(double num)

(return tan(num)-num;)

double x0,y0,z,o,c,da,db,A,B1,B2,s,m,P1,AA,B,dc,Ax,M,dk,w,Ac,Wc,b,Fx,H,Aa,sd,sx,xs;

main()

{printf("c=M =d k=");

printf("%1f%1f%1f",&c,&M,&dk);

printf("m= z= o= da= A=");

scanf("%1f%1f%1f%1f%1f",&m,&z,&o,&da,&A));

db=m*z*cos(A*PI/180);

if(fmod(z,2)==1)

Ax=acos(db*cos(PI/(2*z))/(M+dk));

else

Ax=acos(db/(M+dk));

s=m*z*(PI/z-dk/db+inv(A*PI/180)-inv(Ax));

w=PI*m-s;

Aa=acos(db/da);

sd=da*w/(m*z)-da*(inv(Aa)-inv(A*PI/180));

sx=da*sin(sd/da);

xs=-(sx/2+c);

x0=xs;

a100:x0=x0+0.0001;

y0=sqrt(da*da/4-x0*x0);

AA=acos((db/2)/sqrt((x0+c)*(x0+c)+(y0+c/tan(o*PI/180))*(y0+c/tan(O*PI/180)));B1=inv(AA);

B2=(w*cos(A*PI/180)+m*z*cos(A*PI/180)*inv(A*PI/180))/db+atan((x0+c)/(y0+c/tan(o*PI/180)));

B=B1-B2;

(if B > 0.0001 | | B < -0.0001)goto a100 ;

dc=sqrt((x0+c)*(x0+c)+(y0+c/tan(o*PI/180))*(y0+c/tan(o*PI/180)))*2;

Ac=acos(db/dc);

wc=dc*(w/(m*z)+inv(A*PI/180)-inv(Ac));

b=sin(wc/dc)*dc;

Fx=90-o-180*asin((b+2*c)/(m*z))/PI;

H=da*cos(Fx*PI/180)/2;

printf("x0=%1f y0=%1f/n",x0, y0);

printf("db=%1f AA=%1f/n",db,AA);

printf("B=%1f s=%1f/n",B,s);

printf("dc=%1f H=%1f/n",dc,H);

getcha();

}

计算实例：已知渐开线花键拉刀参数：m=2.5mm，z=18，a=30°，s=3.76mm，r_a=21.335mm，倒角为0.5×45°。采用原计算方法求得的倒角测量值h=16.958mm，而采用本文介绍的精确计算方法求得h=16.882mm。可见，两种计算方法的计算差值为0.076mm，且精确计算方法的计算值要小一些。因此，在对齿轮倒角要求不严格的情况下，采用原计算方法比较简便；而在对齿轮倒角要求严格的情况下，则应采用精确计算方法，并借助计算机程序辅助计算。

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