用最小二乘法拟合径向剃齿刀齿面

　　摘　要：提出一种用最小二乘法拟合刀具齿面上离散点的齿面拟合方法，给出了齿面的简单表达式。该拟合曲面可用于虚拟径向剃齿过程，从而生成被剃齿轮齿面，通过与渐开线齿面比较，可检验刀具设计的正确性。
　　关键词：径向剃齿　曲面拟合　最小二乘法　虚拟检验

Fitting of Points on Profile of Radial Shaving
Cutters by least square method

Liu Qiong et al

Abstract： The method of fitting points on the profile of radial shaving cutters by using the least square method is yielded，and a simple expression to build the gear profile is also presented．It can simulate the process of radial shaving cutting，and then deduce the gear profile to be shaved．By comparing with the involute profile，the correction of the cutter design method can be tested．
Keywords： radial shaving cutting  surface fitting least square method virtual testing

　　1．前言

　　根据线接触单自由度齿轮啮合原理^［1］计算出的径向剃齿刀齿面已不是渐开线螺旋面，而是齿形和齿向都经过修形的空间曲面，这种复杂曲面给径向剃齿刀的设计和制造都带来了一定困难。目前最常见的加工方法是把径向剃齿刀齿面与渐开线螺旋面进行比较，并计算出修形量，然后采用试磨方式进行刃磨。这种方法会造成人力、物力的浪费，在制造过程中也难免产生误差。为了验证径向剃齿刀CAD系统以及制造加工过程的正确性，可根据径向剃齿刀CAD系统输出的剃齿刀齿面数据或已加工径向剃齿刀齿面的实测数据，拟合出刀具齿面的空间曲面，根据径向剃齿过程中齿轮与径向剃齿刀的啮合关系，将该拟合曲面用于虚拟的剃齿加工，从而反解出被剃齿轮的虚拟齿面数据，并与要加工的被剃齿轮原始参数进行比较，通过检验被加工齿轮齿面是否为满足要求的渐开线齿面，以此来判断径向剃齿刀CAD系统或制造系统是否正确，从而检验刀具设计、制造的正确性，以避免人力、物力的浪费。目前由于条件所限，还不能得到径向剃齿刀制造后的实际齿面数据，但可以通过对径向剃齿刀CAD系统计算出的剃齿刀齿面离散数据点进行空间曲面拟合，从而建立齿面模型。这种方法还可用于检验径向剃齿刀的制造正确性，只要测量出加工后的径向剃齿刀的实际齿面，就可用本文所述方法建立相应的齿面模型，反解出被剃齿轮，若虚拟加工出的齿轮满足原渐开线螺旋面方程，说明刀具制造系统符合要求；否则说明制造系统或设计系统存在问题。

　　2．径向剃齿刀的齿面拟合

　　为了验证径向剃齿刀CAD系统^［2］的正确性，需要把径向剃齿刀CAD系统计算出的径向剃齿刀齿面离散数据点（如表1所示）拟合成较简单的曲面方程。为检验径向剃齿刀的制造是否正确，可用三坐标测量机测量制造好的径向剃齿刀齿面，通过坐标变换转化为表1的形式即可。

表1　径向剃齿CAD系统齿面数据　（单位：mm）

　　首先固定y，对x构造m个最小二乘拟合多项式^［4］

其中各ω_k（x）（k＝0，1，…，p－1）为相互正交的多项式，并由以下递推公式构造

式中k＝1，2，…，p－1。若令

则有

根据最小二乘原理可得

然后再构造y的最小二乘拟合多项式

式中各ψ₁（y）（l＝0，1，…，q－1）也为相互正交的多项式，并由以下递推公式构成

式中l＝1，2，…，q－1。若令

则有

根据最小二乘原理可得

最后可得二元函数的拟合多项式为

再将上式转换为式（1）的标准多项式形式。在实际计算过程中，为了防止运算溢出，x_i与y_j分别用x_i^*＝x_i（i＝0，1，…，n－1）和y_j^*＝y_j（j＝0，1，…，m－1）代替，其中

此时，二元拟合多项式为

　　关于拟合多项式的阶数（p，q），可采用过阶拟合的方式来确定，即通过采用不同的（p，q）进行拟合，从中找出一个拟合精度较高的（p，q）组合。因此，根据给定的径向剃齿刀齿面上的若干数据点（x₂，y₂，z₂），可以求得其齿面的拟合多项式。根据计算得到的拟合多项式系数列于表2。

表2　多向式系数a

　　3．结论

　　通过对径向剃齿刀CAD系统输出的径向剃齿刀齿面计算结果（表1数据）进行拟合，分析各种不同（p，q）组合时拟合精度的高低，经过验算得出p＝6，q＝4时拟合精度较高，此时拟合多项式的系数a_ij见表2，此时的拟合精度为：dt（0）2．233370e－28，dt（1）＝6．011858e－14，dt（2）＝7．105427e－15。其中dt（0）表示拟合多项式与数据点误差的平方和；dt（1）表示拟合多项式与数据点误差的绝对值之和；dt（2）表示拟合多项式与数据点误差的绝对值的最大值。当p＞6，q＞4时，其余各项的拟合系数均为0，且拟合精度与p＝6，q＝4时相同；当p＜6或q＜4时拟合精度达不到要求。因此所建立的径向剃齿刀齿面方程为

　　将已知点的x₂，y₂坐标值代入上式计算可知：对于过点拟合，z₂的拟合精度非常高，与表1中相应的z₂几乎完全一致，这一点可以从dt（2）的值看出；对于不过点拟合，z₂的拟合精度也可达到小数点后第6位。因此，利用该数学模型便可进行径向剃齿刀齿面特征参数（如齿面幺法矢等）的计算，为虚拟制造提供了理论依据。该模型已用于虚拟检验的拟合反求运算中，并据此虚拟制造出了用该刀具加工的渐开线螺旋齿面^［4］。把反求出的被剃齿轮齿面上一系列的点（x₁，y₁，z₁），代入式（1），根据z₁值可求出θ₁，再结合x₁值可求出μ₁，根据式（1）可求出y′₁。比较y₁与y′₁，从计算结果可以看出，其误差在10^－4mm以内，因此该径向剃齿刀齿面拟合方法是正确可行的。该方法还可进一步应用于检验径向剃齿刀的制造正确性，只要实际测量出加工后的径向剃齿刀齿面，就可拟合出相应的刀具齿面。