摘要：研究了锥面麻花钻后刀面的成型，建立了钻尖的数学模型，由此确定了后角的计算公式。通过C++Builder建立了参数化计算界面，以此分析各刃磨参数对后角的影响，并通过回溯法确定了在给定后角下刃磨参数的求解过程。

1 前言

目前，在用的麻花钻并无专用设备来重磨，重刃磨主要靠手工操作。很显然，手工操作精度不高，会产生诸如切削刃不对称、后角左右不等、后刀面不在同一曲面上等一系列问题。大量生产实践表明，麻花钻后刀面的几何形状与刃磨质量直接影响钻头的切削性能和使用寿命，所以钻头磨损后，主要就是刃磨钻尖的后刀面。本文就是通过研究锥面麻花钻钻尖的数学模型，对重刃磨进行参数计算，刃磨出合理的后刀面，为设计出一种简易的钻头重刃磨仪提供理论依据。

图1 锥面刃磨几何图

2 锥面麻花钻后刀面刃磨运动分析

为了保证锥面麻花钻的良好切削性能和可靠的使用寿命，麻花钻设计时后角是变化的。刃磨后刀面时将主切削刃上各点的后角磨成外缘处小，越靠近钻心越大。如图1所示，要在砂轮上磨出锥面后刀面，必须具有以下运动。

砂轮回转的主运动。
磨削锥运动。为了形成磨削锥，使钻头绕锥轴旋转，该运动是一个往复摆动。
工件进给运动。为了磨去工件余量，需要沿工件轴向或与主刃垂直的方向进给。
砂轮修整运动。由图1可知，当使钻头围绕假想的包含主切削刃的圆锥轴线旋转时，相对于切削刃而具有后角的圆锥面即形成后刀面。

3 锥面后刀面数学模型

首先建立后刀面数学模型，如图1所示，钻头绕Z轴回转形成磨削锥，其半锥角为d。钻轴与锥轴并不相交，锥顶到钻头轴线的距离为S，钻轴与锥轴轴线的偏距为e，钻轴与锥轴的夹角为q。在圆锥面上每个与其轴线垂直的剖面廓形都是圆，其曲率半径越近锥顶越小，即曲率越大。利用这一特点，将钻头后刀面作成圆锥表面的一部分，符合了钻头后角越靠近钻芯处越大的要求。则在坐标系OXYZ中，首先建立锥面方程：

X²+Y²=Z²tan²d

(1)

由坐标平移，

{X=X-eY=YZ=Z-(S/sinq)

(2)

将坐标系0XYZ绕OX, (ox)旋转q角到Oxyz，则两坐标系中的关系为：

{X=xY=ycosq-zsinqZ=ysinq+zcosq

(3)

将(3)式代人(2),(1)，则有直圆锥面的方程：

(x-e)²+(ycosq-zsinq)²=(ysinq+zcosq- S)²tan²dsinq

(4)

与直柱面的方程联立，得锥面与柱面的交线方程

{(x-e)²+(ycosq-zsinq)²=(ysinq+zcosq- S)²tan²dsinqx²+y²=r²

(5)

设主切削刃上A点的角度参数为t，则上述交线的参数方程为

{(rcosq-e)²+(rsintcosq-zsinq)²=(rsintsinq+zcosq- S)²tan²d4sinqx=rcosty=rsint

(6)

图2 钻头的后角
图3 圆柱剖面后角平面展开图

4 麻花钻回柱剖面中后角的数学模型

在刃磨中度量的是结构圆周后角a_fe(即后角a)，该角度是指通过切削刃上选定点的圆柱面内测量的钻头端平面与后刀面之间的夹角。如图2所示，对于主切削刃上的A点来讲，钻头圆锥面与过该点的圆柱剖面的交线AC即为该点的后刀面。AC与该点的切削速度方向AB(在垂直于钻轴的端平面内)所夹的角度即为该点的后角a_A。将上述圆柱面展开成平面，原圆柱剖面的曲线AC就变为平面曲线AC，A点的标注后角a_A即为曲线AC在A点的切线AD与直线AB的夹角。如图3所示，以z为纵坐标rt为横坐标，z=f(r·t)，则有tana_A=(d_z/d_(r·t)|A，对指定点A来说，代入(6)式得麻花钻后角公式：

tana=1(ycosq-zsinq)xcosq-y(x-e)-tan²d(zcosq+ysinq- S)xsinqsinq(x²+y²)^½ (ycosq-zsinq)sinq+tan²d(zcosq+ysinq- S)cosqsinq

(7)

式中z值可由式(6)求得。

联立上述方程(6)，(7)，代入z值，即可求得主切削刃上任意一点的后角。由于后角是关于钻头直径d、锥半角d、选定点半径r、钻轴与锥轴夹角q、锥顶与钻轴距离S、锥轴与钻轴偏距e的函数，故可参数化求解。采用C++Builder5.0进行设计求解。C++Builder作为可视化编程工具，能迅速开发出界面友好、功能强大的应用程序。设计的程序界面如图4所示。

图4 后角计算对话框
图5 后角随S变化示意图

5 后刀面刃磨参数设计计算

各刃磨参数对后角的影晌
1. 半锥角d对后角的影响
  由后角计算对话框，改变d，其余各值作为常量，随着半锥角的增大，后角减小。对于标准麻花钻，顶角2F=118°，而q+d=F，故q=59°-d，所以后角随q的增大而增大。
2. 锥顶到钻轴距离对后角的影响
  改变S的值，其余各值取作常量，可得随着S的增大，后角减小。
3. 偏距e对后角的影响
  同理可求得偏距e对后角的作用结果，随着e增大，后角也随之增大，且幅度显著。
后刀面刃磨参数的确定
查相关刀具资料，麻花钻外缘处的后角与直径密切相关，
d_o<15mma_e=11～14°d_o=15～30mma_e=9～12°d_o>30mma_e=8～11°
式中，d_o为钻头直径；a_e为钻头的合理后角。

图6 刃磨数求解原理图
根据刃磨实践，轴夹角q变化不大，一般为45°左右，故可以将其设为常量。又q+d=F，顶角一般要求为59&feg;，故d也确定下来。这样只需在给定钻头直径下，求解出e，S使后角在合理后角范围内即可。由于一般e=0.05～0.07d，故可在此范围内取一值。由前分析可知，后角随S的增大而减小，其变化曲线如图5所示。本人采用回溯法(又称试探法)进行求解。在e给定时，先给一个初始点S₁，代入后角公式(7)，算出一个a₁，将此a₁和a_e相比较，若a₁<a_e，则说明S₁>S_e，此时让第二个S按一定步长减小，即S₂<S₁，则算出a₂>a_e，再把a₂和a_e相比较，若a₂<a_e，则继续减小S值，若a₂>a_e，则按步长相应增大S，直到某一个S值时，算出的a正好等于a_e，此时就搜索出一对e、S的组合，相应流程图如图6所示。然后回溯可以让e按一定步长增大或减小发生改变，继续向前搜索下一对e、S组合。依据这种计算原理，将此流程图编成程序，则可很快地求出与e相匹配的S，这个e、S组合就使该钻头外缘处的后角a=a_e。由此可以确定所有的刃磨参数，这样由于控制了变量的数量，实际调整中只需改变e、S，也易于实现，从而能够保证刃磨出的后刀面遵循后角的变化规律，而不致使后刀面擦伤已钻削过的工件表面。