摘要：为了定量预测车削力的不确定性范围，基于对称模糊数、线性规划理论和灰色理论，提出了一种切削力不确定性的模糊—灰色预测方法，建立了用于获取评价数据的车削力测量系统以验证该方法的有效性。预测与实测结果的对比分析表明：对于给定的切削条件，预测值是可变力的一个范围，而不是用传统方法所得的一个确定点，实测力以较小的相对误差落在预测范围内。

1 引言

加工过程中出现的不确定性现象已成为一个突出的问题。切削力作为过程特征量之一，其不确定性来自许多过程因素(包括可量化、难量化因素以及可预测、难预测因素)。若忽略难量化和难预测因素的影响，可近似认为切削力的不确定性主要源于两个方面：实际的力测量系统的影响(包括标定方法、漂移补偿方法、软件中的平均值和圆整方法、测力仪温度等的影响)和过程参数变化的影响(包括切削用量三要素的影响)。

常见的对系统不确定性的估计方法有概率分布法、模糊估计法和最小二乘法等，但至今所见关于加工过程不确定性研究的文章或报道为数不多。为了评价切削力的不确定性，考虑测量系统的标定误差和切削参数误差，根据最小二乘回归法和误差补偿理论，有研究者提出了TLSRM模型，此模型产生的不确定性预测结果是一个确定值而不是一个范围；考虑磨削参数变化和忽略测量系统的标定误差影响，基于模糊理论和线性规划理论，有关文献提出了一个模糊预测模型GFPM，而此模型产生的磨削力不确定性预测结果是一个范围而非一个确定值。

模糊预测模型GFPM使用区间形式来预测和评价磨削力的不确定性，从工程实践的角度看，要比预测一个确定点更有意义。但是模型GFPM不确定性预测的相对误差仍然较大。为了进一步研究这个问题，笔者注意到灰色理论擅长于估计任意系统的不确定性，因而试图建立一种模糊—灰色预测方法，并将其应用于车削力不确定性预测。为了验证所提出的方法，作者还建立了一个车削力检测系统。

2 车削力不确定性的模糊—灰色预测原理

车削中，主切削力的经验数学模型可表达为 F_z=C_z(a_p)^x(f)^y(1)式中，a_p为切削深度(mm)，f 为进给量(mm/r)，x和y为指数，C_z为系数。

对式(1)取对数，可得 log(F_z)=log(C_z)+xlog(a_p)+ylog(f)(2)令：Y=log(F_z)，b₀=log(C_z)，b₁=x，X₁=log(a_p)，b₂=y，X₂=log(f)，代入式(2)得线性模型分明形式为 Y=b₀+b₁X₁+b₂X₂(3)

定义式(3)对应的模糊形式为 Y(X_p)=A₀+A₁X_1p+A₂X_2p(4)

这里选择对称三角形形式的模糊隶属度函数。设三角形底边的中心和宽度分别为C和W，则对称模糊数表达为Y(X_p)=[C(X_p)，W(X_p)]，A₀=[C₀，W₀]，A₁=[C₁，W₁]，A₂=[C₂，W₂]。分明变量为X_1p=log(a_p)_p，X_2p=log(f)_p(p表示试验代码，且p=1，2，3，…，n)。

为了使力的测量值落在式(4)所得预测区间内，并且使对称模糊数的宽度W_i之和最小，应当满足以下线性规划关系：

规划目标为 ∑W(X_p)→min. (5)

约束条件为 log(F_z)_p≤C(X_p)+(1-h)W(X_p)(6)log(F_z)_p≥C(X_p)-(1-h)W(X_p) (7)式中，W(X_p)=W₀+W₁X_1p+W₂X_2p，C(X_p)=C₀+C₁X_1p+C₂X_2p，宽度W_i≥0，且中心Ci≥0(下标i=0，1，2)。模糊隶属度h 满足0<h<1，log(F_z)_p为实测力的对数值。考虑到进给量0<f<1，为方便编程计算，常取X_1p=log(10^mf)_p且取m≥2。

此外，式(4)～(7)可以逻辑地推广到其它切削特征量(如切削温度等)的建模。

在求出式(4)中的模糊数Y(X_p)=[C(X_p)，W(X_p)]后，再取反对数，即可得到车削力不确定性的预测区间。依据给定的切削参数范围，安排一组测量试验，试验编号为p=1，2，…，n。对于第p 个测量试验，测量实际的切削力值；同时将相应的切削参数代入式(4)～(7)，以便得到切削力不确定性的模糊预测区间；再考察切削力的实测值是否落在预测范围内。

已有的研究结果表明，以上描述的模糊预测模型具有如下特征：要得到较好的预测结果，建模的数据样本越多，则在建模数据范围以内模型的输出越满意，但在建模数据范围以外模型输出越不满意。而灰色集合理论擅长于预测不确定性，且能解决模糊预测模型存在的问题。

基于式(4)，假设模糊模型的输出序列为：EY={Y(X_p)}={[C_p，W_p]}={[Y_u(p)，Y_s(p)]}其中Y_u(p)=(C_p-W_p)，Y_s(p)=(C_p+W_p)，且p=1，2，…，n。选出q(q<n)个数据作为切削力不确定性的灰色预测原始数据序列，即 Y_u0={Y_u0(1)，Y_u0(2)，…，Y_u0(j)，…，Y_u0(q)}
Y_s0={Y_s0(1)，Y_s0(2)，…，Y_s0(j)，…，Y_s0(q)}其中j=1，2，…，q<n。

对于序列Y_u0和Y_s0，它们的一次累加生成序列分别定义为 Y_u1={Y_u1(1)，…，Y_u1(j)，…，Y_u1(q)}
Y_s1={Y_s1(1)，…，Y_s1(j)，…，Y_s1(q)}其中j=1，2，…，q<n。

元素Y_u1(j)和Y_s1(j)表达为 Y_k1(j)=∑Y_k0(i)(8)其中j=1，2，…，q<n，k=u 或s。

对于序列Y_u1和Y_s1，它们的相邻平均生成分别定义为 Z_u1={Z_u1(2)，…，Z_u1(i)，…，Z_u1(q)}(i=2，…，q<n)Z_s1={Z_s1(2)，…，Z_s1(i)，…，Z_s1(q)}其中，元素Z_u1(i)和Z_s1(i)可表达为 Z_k1(i)=0.5Y_k1(i)+0.5Y_k1(i-1)(k=u 或s)

假设列向量Y=[Y_k0(2)，Y_k0(3)，…，Y_k0(q)]T，且矩阵B定义为 B=[-Z_k1(2)，1；-Z_k1(3)，1；…；-Z_k1(q)，1](k=u 或s)

灰色微分方程dY_k1/dt+aY_k1(t)=b 中的参数a和b的估计值确定为： [a，b]^T=(B^TB)-1 B^TY(9)

根据式(8)，有Y_k1(0)=Y_k0(1)。

灰色微分方程的解为 Y_k1(1)=Y_k0(1)(10a)Y_k1(i)=[Y_k0(1)-b/a]exp[-a(i-1)]+b/a(10b)式中，i=2，3，…，q。

式(10)可用于求Y_k1的模拟序列Y_k1。因此，Y_k0的模拟序列Y_k0可确定为 Y_k0(1)=Y_k0(1)(11a)Y_k0(i)=Y_k1(i)-Y_k1(i-1)(11b)其中i=2，3，…，q；k=u 或s。i≤q 用于原始序列Y_u0和Y_s0的模拟；i>q 用于切削力不确定性预测。

3 切削力检测试验

切削力检测试验条件
为验证模糊—灰色预测方法的有效性，建立了切削力检测系统，以获取建模和评价数据。检测系统的主要组成部分见表1。其它试验条件包括：工件材料45钢(正火处理，硬度HB187)，工件直径81mm；CA6140车床，主轴转速380r/min；切削速度96m/min；YT15硬质合金刀具。
切削力试验与检测
基于上述切削力检测试验条件和表2所列切削参数进行切削力试验，并将切削力检测结果记录在表2中。

4 预测和试验评价

切削力不确定性的模糊回归模型
根据式(4)～(7)，用表2中全部数据进行切削力不确定性模糊建模(考虑到在建模数据范围以外模糊估计较差)。为便于编程计算，令m=2且X_1p=log(10^mf)_p。表3 列出了切削力不确定性的模糊估计结果，对应的模糊回归模型为 Y(X_p)=[logF_z]_p=A₀+A₁ [log(a_p)]_p+A₂ [log(100f)]_p式中，A₀=[1.272603，0.1092808]，A₁=[0.8845206，0]，A₂=[0.856115，0]。模糊隶属度h=0.5。相对误差_u(或_s)定义为 =(估计值-测量值)/测量值表3 车削力不确定性模糊估计结果No.实测力模糊估计下限_u(%)上限_s(%)1439[415,516]-5.5+17.52878[749,932]-14.7+6.2031129[1063,1324]-5.8+17.341443[1363,1696]-5.5+17.551756[1646,2047]-6.35+16.6表4 车削力不确定性模糊—灰色预测
(含3个建模数据的部分信息模型)No.实测力模糊—灰色预测下限_u(%)上限_s(%)1439[415.00,516.00]-5.5+17.52878[740.10,920.80]-15.7+4.931129[1046.6,1303.4]-7.3+15.441443[1480.1,1845.1]+2.6+27.951756[2093.2,2611.8]+19.2+48.7表5 车削力不确定性模糊—灰色预测
(含4个建模数据的新信息模型)No.实测力模糊—灰色预测下限_u(%)上限_s(%)1439[415.00,516.00]-5.5+17.52878[765.60,953.30]-12.8+8.531129[1020.6,1270.5]-9.6+12.541443[1360.4,1693.2]-5.7+17.351756[1813.5,2256.6]+3.3+28.5表6 车削力不确定性模糊—灰色预测
(含3个建模数据的新陈代谢模型)No.实测力模糊—灰色预测下限_u(%)上限_s(%)2878[749.00,932.00]-14.7+6.231129[1056.9,1316.4]-6.4+16.641443[1353.4,1684.2]-6.2+16.751756[1733.2,2154.6]-1.3+22.7
车削力不确定性的模糊—灰色预测
1. 选择表3中No.1～3的数据用于模糊—灰色预测建模，则车削力不确定性的模糊—灰色预测结果如表4 所示，其中数据No.1～3对应于模糊—灰色建模数据的模拟值(建模数据来自模糊估计数据No.1～3)，而数据No.4～5表示模糊—灰色建模数据范围之外的预测值。此外，灰色微分方程中的参数确定为 [a_s,b_s]=[-0.3475,590.7376]
  [a_u,b_u]=[-0.3466,475.3764]
  相对误差定义为 =(预测值-测量值)/测量值
2. 选择表3中的数据No.1～4用于模糊—灰色预测建模，将车削力不确定性模糊—灰色预测结果列于表5，其中数据No.1～4对应于模糊—灰色建模数据的模拟值(建模数据来自模糊估计数据No.1～4)，而数据No.5 表示模糊—灰色建模数据范围之外的预测。灰色微分方程中的参数确定为 [a_s,b_s]=[-0.2872,674.6824]
  [a_u,b_u]=[-0.2874,541.5835]
3. 选择表3中的数据No.2～4用于模糊—灰色预测建模，则车削力不确定性模糊—灰色预测结果列于表6，其中数据No.2～4对应于模糊—灰色建模数据的模拟值(建模数据来自模糊估计数据No.2～4)，而数据No.5 表示模糊—灰色建模数据范围之外的预测值。灰色微分方程中的参数确定为 [a_s,b_s]=[-0.2464,931.306]
  [a_u,b_u]=[-0.2473,746.3059]

5 预测结果分析

由表4数据可知：数据No.1～3是原始数据的较好模拟(原始数据来自表3中No.1～3)，但预测区间稍微向左漂移；虽然数据No.4在建模数据范围之外，但它的预测较好且含较小的相对误差(+2.6%)，即实测力落在预测区间下限的左侧邻近；数据No.5的预测较差，即实测力落在预测区间下限的左侧且含较大的相对误差(+19.2%)。

由表5数据可知：数据No.1～4是原始数据的较好模拟(原始数据来自表3中数据No.1～4)；虽然数据No.5在建模数据范围之外，但它的预测较好且含较小的相对误差(+3.3%)，即实测力落在预测区间下限的左侧邻近。

由表6数据可知：数据No.2～4是原始数据的较好模拟(原始数据来自表3中数据No.2～4)；虽然数据No.5是在建模数据范围之外，但它的预测较好且含较小的相对误差(-1.3%)；实测力落在预测区间下限的右侧邻近。

基于上述分析可知：模糊—灰色预测方法可以较好地模拟建模数据，同时可以在建模数据样本范围之外有效地预测切削力不确定性区间，不过真正的有效预测点仅局限于最后那个建模数据。此外还可发现：表6中的新陈代谢模型的预测结果优于表4中的部分信息模型，而表4的部分信息模型又优于表5中的新信息模型。与常规的最小二乘回归法、神经网络法和模糊回归法明显不同，模糊—灰色预测法仅需要少数试验数据样本来建模，并能有效地预测将来的不确定性区间。

6 结论

在建立的车削力检测系统中验证了所提出的切削力不确定性模糊—灰色预测方法的有效性。模糊—灰色预测结果与实测切削力数据的比较表明：所提出的预测新方法不仅能较好地模拟建模数据样本，而且还能以较小的相对误差预测建模数据范围以外的其它数据点(即预测未来数据点)。此外，与传统建模方法明显不同的是：模糊—灰色预测方法在建模中仅需要少量试验数据样本，可大大减少切削试验的成本和工作量。

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