定位误差的微分计算法

设计夹具时，必须对定位误差进行分析计算。当工序尺寸为与定位基准成线性关系的量时，定位误差等于基准不重合误差与基准位移误差之和，计算较为简单。但对于平面尺寸系统和空间尺寸系统，由于尺寸方向不一致以及存在角度误差，使定位误差的计算变得较为复杂。应用定位误差微分计算法则可使上述问题较易得到解决。定位误差微分计算法是高等数学微分近似计算原理的应用。设函数y=F(x₁，x₂，…，x_n)，当自变量x₁，x₂，…，x_n分别在x₀₁，x₀₂，…，x_0n处的变动量|x₁|，|x₂|，…，|x_n|均较小时，y的变动量可近似用全微分表示为 y=n
∑
i=1yxix_0i(1)

由微分概念的极限原理可知，|xi|越小，则y的近似程度越高。由于可将工序尺寸L 视为工件和定位元件上若干尺寸l₁，l₂，…，l_n的函数，即L=F(l₁，l₂，…，l_n)。根据工件定位的标准位置概念，令l₁=l₀₁±½l₁，l₂=l₀₂±½l₂，…，l_n=l_0n±½l_n。由于尺寸偏差l_i比基本尺寸(平均尺寸)l_0i小得多，故可运用微分近似公式(1)计算定位误差，即 L=2n
∑
i=1Ll_i=n
∑
i=1Ll_il_0i2l_0i(2)

下面通过计算实例具体说明定位误差微分计算法的应用。

例1：如图1所示，盘形工件以外圆表面靠在新型V型铁的两个圆柱销上定位，工序尺寸H为所加工孔与工件的中心距，显然工件中心O为工序基准，现用微分法计算其定位误差。

工序尺寸H的函数表达式为 H=h-OA=h-½[(D+d)²-b²]^½(3)式中：d——两圆柱销直径

b——两圆柱销中心距

h——机床轴线到两圆柱销中心连线的距离

视d、b、h 为常量，D=D₀±½D为变量，因此工序尺寸H为工件直径D的函数，按式(2)对式(3)取微分得 H=-1D₀+dD=D=D2[(D₀+d)²-b²] ^½2{1-[b/(D₀+d)]²]}^½2cosa₀(4)式中d₀=arcsin[b/(D₀+d)]

式(4)中第一步求导后出现的负号表示工序尺寸H 随D 的增大而减小。式(4)的最后结果表明，对于某一批工件，采用新型V形铁定位时可按采用传统V形铁时相似的方法计算定位误差。为了提高夹具的定位精度，应适当选取a0值。
图1
图2

例2：如图2所示，工件以平面和直径为d 的圆柱销定位，若不考虑B、H 等误差的影响，则可将工序尺寸A 视为工件上l和D 两尺寸的函数，即 A=H-OC=H-{[(D+d)/2]²-(B-l)²}^½(5)按式(2)对式(5)取全微分得 A=(D₀+d)D/2+(B+l₀)l=D+ltana₀{[(D₀+d)/2]^½-(B-l₀)²}^½cosa₀(6)

式中a₀=arcsin[2(B-l₀)]/(D₀+d)

由式(6)可知，为减小工序误差，a₀值应适当取得小一些。

微分计算法是解决较复杂的定位误差分析计算问题的有效而简捷的方法，该方法计算精确，并与工件定位的标准位置概念相吻合。

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