摘要：用矢量表示了虚轴钻头刃磨机的基本结构，根据圆锥面钻尖的磨削参数，采用矢量变换推导了在虚轴机床上刃磨圆锥面钻尖的运动方程，进而求出杆长矢量，作为机床运动控制的依据。

0 前言

90年代中期出现的虚轴机床引起了整个机械制造业的关注，被称为是“本世纪机床设计的首次革命性变革”。这种机床实际是一种空间并联连杆机构，其基本结构是一个活动平台、一个固定平台和连接两个平台的六根连杆。不断改变六根杆的长度，活动平台便产生6自由度的空间运动，带动刀具在工件上加工出复杂的三维曲面。与传统机床相比，虚轴机床具有刚性高、精度高、运动速度高和机械结构简单等优点，但其不足之处是工作空间小于同等尺寸的传统机床。

麻花钻后刀面是复杂的三维曲面，而且刃磨钻尖时只需要很小的工作空间，所以在钻头刃磨机上采用虚轴机床的结构将是非常适宜的。本文将对在虚轴钻头刃磨机上刃磨圆锥面钻尖进行探讨。

1 机床结构的矢量表示

钻头刃磨机要使钻头相对于砂轮产生给定的三维运动，为此将钻头安装在活动平台上，砂轮安装在固定平台上。在固定平台上建立坐标系O_Bx_By_Bz_B，在活动平台上建立坐标系O_Px_Py_Pz_P(图1)。各杆用矢量L_i(i=1，2，…，6)表示，各杆与固定平台交点的位置用矢量B_i(i=1，2，…，6)表示，各杆与活动平台交点的位置用矢量P_i(i=1，2，…，6)表示，砂轮中心高用矢量h表示，砂轮中心至磨削点的半径用矢量r表示，被磨钻头悬伸部用矢量d表示(图1)。在给定结构下，B_i在O_Bx_By_Bz_B坐标系内和P_i在O_Px_Py_Pz_P坐标系内分别为常矢量，记为B_iB和P_iP。

2 钻尖锥面磨法的磨削参数

磨削锥面钻头时，锥面、钻头、砂轮的初始相对位置见图2，控制这一相对位置的参数称为磨削参数。锥面钻尖的磨削参数有五个，其中q为锥面的半锥角，b为钻头主切削刃在钻头端截面内投影与x_P轴夹角，f为锥轴线与z_B轴夹角，H为锥顶到钻尖顶端距离在锥轴上的投影，d₁为锥轴线与钻头轴线的距离。图1 机床结构的矢量表示图2 钻尖的锥面磨法原理图

图2中O′x′y′z′为锥面坐标系，z′为锥轴。锥面在O′x′y′z′坐标系中的方程是 x^′2+y^′2-z^′2tg²q=0(1)

Oxyz为钻头坐标系，利用坐标的平移和旋转可得到锥面在Oxyz坐标系中的方程为 (2)

式2给出了磨削参数q、b、f、H、d₁之间的关系，任选其中四个，就可求出第五个。故锥面磨削法有四个独立的磨削参数。一些文献中均推荐了q、f、H、d₁作为独立磨削参数，需用四个独立的方程求出。这些方程实际是钻头几何参数和磨削参数的关系式，对于给定的钻头几何参数如半顶角、横刃斜角y、结构圆周后角a_fc等，可以得到相应的表达式，从而求出四个独立的磨削参数，然后由式2求出第五个磨削参数。这一过程在许多文献中均有介绍，此处不再赘述。

3 钻尖锥面磨法的运动方程

刃磨时，先根据五个磨削参数调整钻头初始位置，即主切削刃接触砂轮外圆柱母线，钻头轴线与锥面轴线在空间相错，距离为d₁。直线QQ′为二轴线的公垂线，垂足分别为Q和Q′(图2)。刃磨时钻头轴线绕锥面轴线旋转，Q点位置不变，二轴线夹角始终为f。

为便于推导，在锥轴上建立中间坐标系O^*x^*y^*z^*，原点O^*与O点重合，z^*与锥轴重合，y^*平行于y_B，x^*由右手定则确定如图2所示。O^*在O_Bx_By_Bz_B系中的位置可由径矢T_CB确定 T_CB=(-bcos(q+f)，0，bsin(q+f)+h+r)^T

(3)式中 b=Htgq/sinf(4)

，H，d₁，q——已确定的磨削参数

在刃磨初始位置时O_Px_Py_Pz_P系在O^*x^*y^*z^*系内的方向可由矩阵R_PC0确定 (5)

采用锥面法磨钻头时，z_P轴绕z^*旋转，转角为-r，r称为运动变量。根据麻花钻刃瓣宽度，r的范围大约为0°～100°。转动后O_Px_Py_Pz_P系在O^*x^*y^*z^*系内的方向矩阵变为 (6)式中 R_zC(-r)——绕z^*轴转-r角度的旋转矩阵

O_P点在O^*x^*y^*z^*系中的位置可用径矢T_PC表示，在初始位置时 T_PC0=(asinf，-d₁，acosf)^T由图2及式4可见 a=d-b=d-Htgq/sinf绕z^*轴转动-r角度后 (7)

由于z^*轴和z_B轴夹角为′=90°-q，故O_Px_Py_Pz_P系的方向矩阵在O_Bx_By_Bz_B系中的表达式为 (8)

O_P点的位置矢量在O_Bx_By_Bz_B系中的表达式为

T_PB=R_yB(-f′)T_PC+T_CB=

(9)

式(8)和式(9)即为磨削锥面钻尖时的运动方程。

4 杆长计算

由图1可见，杆矢量可表示为 L_i=T+P_i-B_i(10)

式中T=h+r+d为O_P点和O_B点的相对位移矢量，在O_Bx_By_Bz_B系中表达时记为T_PB。

式(10)中的各矢量需要表达在同一坐标系中，而方向矩阵R_PB又称为转换矩阵，可将P_iP转换至O_Bx_By_Bz_B系中 P_iB=R_PBP_iP(11)

故得杆矢量在O_Bx_By_Bz_B坐标系的表达式为 L_iB=T_PB+R_PBP_iP-B_iB(12)

对于给定的机床结构，P_iB和B_iB均为常矢量。位移矢量T_PB和转换矩阵R_PB均已求出，见式(8)、式(9)。磨削过程中运动变量连续变化，则所得杆长也连续变化。用此变化值去控制各杆的伸缩，便可使活动平台产生预定的运动。

5 结论

虚轴机床实质上是空间并联连杆机构，可以用矢量表示虚轴机床的基本结构，使运动的计算十分方便。
根据磨削参数和锥面钻尖的形成原理，利用矢量的平移和旋转来表示活动平台相对于锥面和固定平台的运动，从而推导在虚轴机床上刃磨圆锥面钻尖的运动方程，运动方程由活动平台的位移矢量T_PB和方向矩阵R_PB组成。
利用刃磨运动方程可求出杆长矢量，用以控制杆长变化，使机床产生刃磨运动。