摘要 在对齿轮传动系统分析的基础上，建立了求解传动方案物理意义明确、表达清晰的数学模型，为在计算机上实现传动系统的设计与分析提供了理论依据。
关键词：传动系统 转速图 数学模型
Optimum Parameter expression for Multi-level Gear Transmission System
Zhang Youjun Tang Zongjun Li Dan Liu Dechun
Abstract bases on the analysis of gear transmission system,mathematical model with explicit physical significance was put forward to solve transmission project,which provide theory basis for design and analysis of transmission system with computer.
Key words:gear transmission system; speed change diagram; mathematical model
1 引言
多级齿轮传动系统传动方案一般用转速图表示。在转速图上，可以看出各轴转速的变化规律和各运动副的传动比，转速图还可以用于拟定新传动系统的传动链。完整、准确地参数化表达转速图，是进行分级齿轮传动系统CAD的关键。下面介绍笔者建立的传动方案的数学模型。
2 传动方案的参数表达
分级齿轮传动系统通常是由顺序串联(或并联)的几个传动组组成，传动组是由具有共同输入轴和输出轴的几对传动件组成的，具有传动系统基本功能的最小独立单元。传动系统可采用矩阵表达式来描述：
（1）
矩阵中m为传动系统的传动轴数；i表示主动轴，i=0,1,2，…,m-1,i为0时表示电机；j代表被动轴，j=1,2,…，m；元素Sij表示从i轴直接传至j轴的传动组。由于传动系统只能由前级轴向后级轴传动，所以当i≥j时，Sij＝0；当i＜j时，若从i轴到j轴无传动关系，则Sij＝0。所以S矩阵是一个对角线以下元素均为零的上三角形矩阵。
有时传动系统采用并联分支传动，以便使高速传动路线较短。比如CA6140型车床的主传动链，在轴Ⅲ与轴Ⅵ之间增加了一个升速传动副，则其传动链可表示为：
（2）
3 传动系统中传动组的参数表达
现在我们来分析式(1)中的矩阵元素Sij的具体表达。
3.1 一般传动组的参数表达
首先讨论一般传动组的情况。一般传动组是指具有单一级比、单一转速公比的简单传动组。
一般传动组的传动特征都可以用其变速级数p级比指数x和最小传动比指数a来表示，根据这三个参数可以对传动组进行分类，如x=0,p=1时为定比传动，x＞0，p＞1时则为变速传动；a＞0为升速传动，a＜0为降速传动，等等。这三个参数称为传动组的三要素。每个传动组的三要素概括了该传动组的传动特性，可写为：
Sij＝［p x a］T
（3）
式中 p——该传动组的变速级数
a——该传动组的最小传动比指数
x——该传动组的级比指数
因此，该传动组中任一传动比为：
(4)
式中 ak——第k个传动比指数
ak＝a＋（k－1）x
（5）
这样，在一般传动组中，p、x、a与传动系统的输入转速nE及输出转速公比一起确定了该传动组在转速图上的画法。
例如：nE为输入转速，它确定了转速图在第一根轴上起点的位置；的对数值lg表示两水平线之间的间隙；p表示在转速图上由主动轴上同一点引出的线数(即传动副数)；x表示动轴上同一点引出的相邻网线与被动轴交点之间相距的格数；a表示每个传动组中代表最小传动比的网线与主动轴、被动轴交点在竖直方向相差的格数。
图1 转速图
图1所示的转速图可表达为：
(6)
3.2 复杂传动组的参数表达
为了扩大变速范围，有时在传动系统中采用具有多级比或多公比的传动组。
当传动组具有多个级比时，Sij可表示为：
Sij＝［p x a］T
（7）
式(7)中的元素p、x、a分别为一行向量，因此也可表示为：
（8）
(9)
在具有混合公比的齿轮传动系统中，一般基本传动组的传动比指数不为1，而是增加了主轴空掉的转速。所以，对于具有混合公比的传动方案的表达，依然可以采用式(1)及式(6)表示。
图2 CM6132精密车床传动图
图2为CM6132型精密车床的传动图，从中可以分析出在此系统中，既有分支传动，又存在多级比、多公比的复杂传动组，其传动方案可表示为：
（10）
4 结束语
传动方案的表达矩阵其物理意义明确，其中包含了传动路线、传动顺序、传动组的传动副数、传动比指数等设计信息，与输入转速nE及输出转速公比一起，完整、清晰地表达了齿轮传动系统的传动方案，是转速图的参数化表达形式。
传动方案的矩阵表达式将一般传动组及复杂传动组等统一起来，揭示了各种传动系统的共性和本质。其通用性强，适用于描述各类多级齿轮传动系统。传动方案的参数化表达，为应用计算机进行多级齿轮变速系统的设计提供了表述完整的数学模型，为在计算机上分析传动系统提供了理论依据。
笔者在对主传动系统分析的基础上，建立了适于在微机上实现普通机床变速箱CAD的设计原则、数学模型及求解程序。
