1 引言

由以往的研究可知，钻头是一种几何形状较复杂的刀具，即使构建出了它的理想化动力学模型，其求解也相当困难，为了分析振动钻头的动力学特性，不得不对其动力学模型进行简化处理。本文采用一种有效的近似求解方法——有限元分析方法构建钻头的理想化模型，这将有利于对钻削过程中钻头的动力学特性进行深人研究。

图1 钻头几何形状和有限元节点

2 钻头的数学模型

麻花钻的切削部分由两个前刀面、后刀面、副后刀面、主切削刃、副切削刃及一个横刃组成。在图1 所示的O-XYZ坐标系中，要构建钻头的有限元模型，首先需要确定钻头的主要轮廓线方程。

主切削刃
钻头的主切削刃分为A刃和B刃，即图1中的A线和B线。A刃在坐标系的第四象限内，其上的任意点可表示为
x=(r²-W²)^½
y=-W
z=(r-W/tany)/tanp
(1)
B刃在坐标系的第二象限内，其上的任意点可表示为
x=(r²-W²)^½
y=W
z=(r-W/tany)/tanp
(2)式中：r——主切削刃上任意点的半径，且D/2≥r≥W/tany
W——钻芯厚度的1/2
y——横刃倾角
p——半顶角
C线和D线
C线在坐标系的第一、四象限内，其上的任意点可表示为
x=½D₁cosq_C (p/2≥q_C≥-w₁，w₁=arcsin(2W/D₁))
y=½D₁sinq_C
z=z₁₀+k(p/4)D₁tana
(3)式中：a——后角
D线在坐标系的第二、三象限内，其上的任意点可表示为
x=½D₁cosq_C
y=½D₁sinq_C
z=z₄+k(p/4)D₁tana
(4)式中，节点10和节点4为主切削刃上的点，它们的z轴坐标相等，即：z₁₀=z₄。

横刃

对于横刃在坐标系第四象限内的部分，其上的任意点可表示为

x=r₁cosy
y=-r₁siny
z=0>

(5)式中；r₁——横刃上任意一点的半径对于横刃在坐标系第二象限内

x=-r₁cosy
y=r₁siny
z=0>

(6)

E线和F线(后刀面与棱边交线)

E线在坐标系的第四象限内，其上的任意点可表示为

x=½Dcosq_D (0≥q_D≥-w₀，w₀=arcsin(2W/D))
y=½D₁sinq_D
z=z₁₀+k(p/4)Dtana (2/16≥k≥0)

(7)

F线在坐标系的第二象限内，其上的任意点可表示为

x=½Dcosq_D
y=-½D₁sinq_D
z=z₄+k(p/4)Dtana

(8)式中，z₁₀=z₄为主切削刃上的点。

I线和J线

I线和J线分别为两个后刀面与螺旋槽的交线，是过点1、9与B 刃相切、过点2、3与A刃相切的两段三维空间圆弧。由于有限元软件可根据其端点值自动绘出线段，故无需再给出其方程。

3 钻头有限元模型的构建

利用有限元软件ALGOR FEAS建模时，首先需要根据上节推导的钻头几何轮廓线方程选取钻头上的某些特定节点(它们将成为模型中的部分节点), 这些节点必须能充分反映钻头的几何特征，从而可通过所建模型将钻头完整、准确地描述出来。选取节点时还应考虑钻头的对称性，以尽量减少数据输入量。本文在构建钻头有限元模型时所选取的部分节点见表1 。表1中，z₄表示节点4的Z值，z_J、z_D₁、z_D₂和z_F分别为J、D和F线上的选取点。当选取钻头直径D=0.5mm，钻芯厚度2W=0.135D，圆柱直径D₁=0.944D，横刃角y=55°，半尖角Ø=59°，后角a=11°时，钻头模型的实际节点值见表2。表1 钻头的部分节点坐标节点号XYZ1-W/tanyW02W/tany-W030-D₁/2z₄+5pD₁tana/164-[D₁²-(2W)²]^½/2W(D₁-2W/tany)/(2tanp)50006D₁/20z₄+pD₁tana/167-[D₁²-(2W)²]^½/2W(D₁-2W/tany)/(2tanp)8D/20z₄+pDtana/16z_J-D₁/8-(D₁+2W)/4z_J/2z_D₁-D₁cos(p/4-w₁)/2-D₁sin(p/4-w₁)/2z₄+pD₁tana/8z_D₂-D₁cos(w₁/2)/2D₁sin(w₁/2)/2z₄+pD₁tana/32z_F-Dcos(w₀/2)/2Dsin(w₀/2)/2z₄+pDtana/32表2 钻头的部分节点数据值节点号XYZ1-0.0236320.03375020.023632-0.03375030-0.2360.2176764-0.2335740.033750.127604500060.23600.1456187-0.2477110.033750.1360168-0.2500.146687z_J-0.059-0.1348750.108838z_D₁-0.187878-0.1428210.163633z_D₂-0.2353930.0169910.136611z_F-0.2494270.0169140.137154

(a)X-Y

(b)X-Z

图2 钻头有限元网格划分

将获得的基本数据输人Super Draw软件，便可构建出钻头头部轮廓，然后再根据实际需要划分单元网格，形成如图2所示的钻头头部轮廓曲面(图中共有65个单元格)。

将此曲面定义为O面，将O面沿Z轴平移一距离H同时旋转一角度q到A面，则q与钻头导程P之间的关系为 q=2pH/P(9)其中，螺旋槽导程为 P=pD/tanb(10)面A中的点(x_a，y_a，z_a)与面O中的点(x_o，y_o，z_o)之间的转换关系为

(11)

根据式(11)在Super Draw软件中进一步产生A面．并连接两面之间的节点，在两面之间形成65个具有8节点的三维实体单元。由于钻头以Z轴旋转对称，因此对称部分可通过将三维实体旋转18o°而自动产生。钻头头部的立体有限元模型如图3a所示〔图中共有130个单元)。整个钻头的有限元模型可通过头部立体模型旋转并向上延伸而形成，如图3b所示(图中共有1040个单元)。最后给出钻头边界条件，即钻头一端固定，另一端为自由端。

(a)X-Z

(b)X-Z

图3 钻头的有限元模型

钻头的有限元模型构建完成后，需用译码器Decoder进行译码，译码器中所需设置参数包括密度r、杨氏模量E、泊松比µ等，即

r=8.3×10³kg/m³

E=2.1×10¹¹N/m²

µ=0.25
计算频率阶数为16阶，并需进行刚体模态检查。译码后形成TEXT 文件，利用文本编辑器可直接查看译码结果。另外，可进人Super View检查译码后的模型是否正确，如译码后的模型与译码前的模型完全相同，说明建模正确，即可进行后续分析计算和动力学特性分析。