轴流式三元叶片的计算机辅助成型研究

一、引言

　　三元流动叶轮接近气体在旋转叶轮中流动的真实情况，因而性能优越，获得越来越广泛的应用。目前制造三元叶轮最简便、经济的工艺方法是钢板焊接，主要过程为：放样展开—板材下料—压制成型—焊接—修型加工。因此，对叶片的空间描述、展开以及压模的设计制造是直接关系着本工艺方法效率和叶轮性能的关键。由于三元叶片本身的复杂性和特殊性，气动设计中一般只给定有限个基元叶栅和叶型的参数，对叶片缺乏统一有效的数学描述，叶片的展开和模具的制造困难。因此，该类风机设计制造的周期长，性能难以保证。基于这种现实，本文给出了一种利用计算机技术解决上述关键问题的一般性方法。

二、叶片型面的坐标计算

1.叶片型面的平面坐标
　　根据风机的气动设计理论可知，叶片由一系列积迭在一起的叶型面组成。为了便于计算叶栅参数和引用平面叶栅试验数据，叶型是在平面(圆锥面展开)上进行设计的，型面中弧线一般为圆弧形，而轮廓线则由沿中弧线的叶型厚度分布确定。
　　以型面中弧线的弦长方向作为X₁轴方向，Y₁轴过中弧线的圆心建立坐标系O₁、X₁、Y₁，如图1。设型面中弧线的半径为r，弦长为B，型面轮廓线上任一点P处的叶片厚度为δ，所在径向线与Y₁轴形成的圆心角为t(顺时针为正)，则P点在O₁X₁Y₁中的坐标可表示为

图1　描述型面的平面坐标系

(1)

其中：(1)对于叶片外表面(吸力面)取正号；内表面(压力面)取负号；
　　　(2)对于薄板型叶片δ取常数(暂不考虑边缘修形)；
　　　(3)-T≤t≤T,T=crcsin(B/2R)。
　　设该型面的形心为O₂(x₀，y₀)，安装角为θ，以O₂为原点建立与型面安装角无关的坐标系O₂X₂Y₂(X₂轴与圆锥面的素线重合)，则P点在坐标系O₂X₂Y₂中的坐标为

(2)

其中，对于图中圆弧板型叶片有

2.叶片型面的空间坐标
　　上述的叶型是用圆锥面截切叶片，将截面展开后得到的平面图形。为了得到真实形状，需将截面卷回到圆锥面上。设圆锥面的端面半径为R₁、R₂(R₁＜R₂)，长度为L，建立如图2所示的右手坐标系O₃X₃Y₃Z₃，其中，X₃轴与圆锥轴线重合，Z₃轴与过积迭点的径向线重合。则有如下的映射关系。

图2　空间坐标系的建立

(3)

其中，z₀为积迭点的高度，

三、叶片的成型

1.叶片曲面的形成
　　根据公式(1)、(2)、(3)，对于气动设计中给定的任一叶型面，确定了积迭线(一般采用径向线)后便可以准确地求得空间位置。型面轮廓线上任意点的空间位置可表示为

P_i(x,y,z)=P(r₁±δ/2,t₁,z₀₁) (i=1,2,…,n) (4)

　　将上述n个截面积迭起来，便得到整个叶片曲面的骨架。为了得到光滑的叶片，还需要进行曲面拟合。下面是采用三次B样条曲线拟合叶片的具体方法。
　　(1)求型值点P_i
　　对于截面i(i=1,2,…,n)，令t_i=wT_i(-1≤w≤1)，固定w，根据公式(4)，得到叶片上处于不同截面上的n个对应点P₁，P₂，…，P_n。
　　(2)构造三次B样条曲线，反求控制点Q_i
　　过上述点构造一条三次B样条曲线，表示为

其中　i=1,2,…,n，令u=0，则有

令P_i(0)=P_i，Q₀=Q₁，Q_n+1=Q_n，得

(5)

　　至此，用追赶法可解得Q₁，Q₂，…Q_n+1。
　　(3)生成曲面
　　令w连续变化，即控制P₁，P₂，…，P_n沿截面连续移动则得到光滑曲面，以［B］表示三次B样条系数矩阵，可记为

P_i(u,w)=［u³　u²　u1］［B］
［Q_i-1(w)　Q_i(w)　Q_i+1(w)　Q_i+2(w)］^T(6)

式中，0≤u≤1，-1≤w≤1，i=1,2,…,n-1。

2.叶片的展开
　　三元叶片属于不可展曲面，只能进行近似的展开。令δ=1，根据公式(4)、(5)、(6)可得到叶片中面，将之划分为若干微小单元后可求得任意曲面单元的四个顶点p(u,w),p(u,w+Δw),P(u+Δu,w),p(u+Δu,w+Δw)。至此利用三角线法可得到较为准确的叶片展开图。值得一提的是，除叶片的构型精度和划分方式及曲面单元的数量以外，展开基点的选择对展开精度的影响也很大。习惯上沿一端顺次展开的方法会产生较大的误差。建议以根截面(i=1)的中点(t=0)为基点。
3.平面型线的生成
(1)任意平面型线的求解
　　对于式(6)确定的叶片曲面，与任意平面ax+by+cz+d=0联立求交，可得交线的方程为

［u³　u²　u1］［B］(α［X(w)］^T
+b［Y(w)］^T+c［Z(w)］^T)+d=0 (7)

其中，［X(w)］、［Y(w)］、［Z(w)］为控制矩阵［Q(w)］的坐标分量。
　　上式中，给定w=w^*，得到关于u的三次方程，解方程后得u^*，则(u^*，w^*)对应着一个交点(B样条曲线与平面的交点)。按合适的步长，连续求得一系列交点，则得到需要的平面型线。
(2)等x值型线的简便求解方法
　　将坐标系O₃X₃Y₃Z₃绕Z₃轴旋转β角(取β约等于叶弦角的平均值)得新坐标系O₄X₄Y₄Z₄，如图3a，将式(4)表示的各叶型截面转换到该坐标系中，得

(8)

　　如图3 b所示，式(4)表示的曲线以及边缘线(样条曲线)，构成了叶片曲面的基本骨架，。取特殊位置平面x₄=x^*与之求交，可得叶片上的一系列点A₁,A₂,…,A_n；B₁,B₂,…,B_n。分别以A₁,A₂,…,A_n和B₁,B₂,…,B_n作为型值点可生成与上、下压模对应的两条型线。根据制造精度和工艺的要求，取一系列合适的x^*，则得到一组简便的压模型线。