渐开线圆柱齿轮的综合检验一般可分为单面啮合、双面啮合和噪声综合检验三种。其中双面啮合综合检验(简称双啮检验)广泛应用于大批量生产的齿轮检验。双啮检验所用综合检查仪结构简单，操作和调整方便，测量元件容易获得，从双啮检验得到的中心距变动量曲线可快速获得加工机床、刀具、夹具和齿坯安装造成检验项目超差的信息。虽然双啮检验只反映了齿轮的径向误差部分，但辅以切向误差方面的单向检验，仍可全面地评定齿轮的质量。双啮检验时需根据被测齿轮和测量齿轮的法向变位系数计算双啮中心距。本文从分析和实践应用出发，给出了法向变位系数的测定方法和计算公式。
一、双面啮合的啮合条件
双啮检验时的齿轮啮合状况与齿轮传动设计时一样，如图1所示。被测齿轮1和测量齿轮2的两节圆r1、r2相切并做无滑动的纯滚动。所以两节圆齿距应相等，即P1＝P2。被测齿轮的节圆齿厚应等于测量齿轮的节圆齿槽宽，或被测齿轮的节圆齿槽宽等于测量齿轮的节圆齿厚，即s1＝e2及s2＝e1。所以P1＝P2＝s1＋e1＝s2＋e2，则节圆齿距等于两齿轮的节圆齿厚之和。
P＝s1＋s2 (1)
图 1 双啮检验时齿轮啮合状况
式(1)称为齿轮无侧隙双面啮合条件。
由式(1)可推出齿轮无侧隙啮合方程式(2)和中心距A″公式(3)(以斜齿轮副为例，推导从略)。
(2)
(3)
式中 mn——法向模数
β——分度圆螺旋角
Z——被测齿轮齿数
Zc——测量齿轮齿数
αt——端面压力角
α′t——端面啮合角
Xεn——法向变位系数之和
Xεn＝Xn＋Xcn＋ΔXn＋ΔXcn (4)
式中 Xn——被测齿轮图样标定的法向变位系数
Xcn——测量齿轮图样标定的法向变位系数
ΔXn——被测齿轮齿厚上偏差在径向形成的附加变位系数
ΔXcn——测量齿轮制造时的齿厚偏差在径向形成的附加变位系数
二、ΔXn和ΔXcn的求法
由公式(1)可知节圆齿距等于被测齿轮与测量齿轮的节圆齿厚之和。两齿轮的节圆齿厚与分度圆齿厚有关，分度圆齿厚又与变位系数有关。被测齿轮和测量齿轮的齿厚都有两部分组成。一部分是由图样标定的变位系数形成的固定部分，另一部分是由加工形成的附加部分。因此正确地测定和计算附加部分的变位系数是至关重要的。
1.确定ΔXn的步骤
1)验算图样中标定的齿厚公称值(弧齿厚或公法线)与按标定参数计算后的结果是否一致。
2)若一致时可直接采用其上、下偏差计算；若不一致时应按图样中标定的上、下偏差值与重新计算的公称值重新标定齿厚类的上、下偏差。为便于齿轮加工和验收时的齿厚测量，图样中一般都标定公法线尺寸和其上、下偏差。按传动设计要求，为了保持齿轮副有一定的齿侧间隙，其公法线长度和弧齿厚的上、下偏差均为负值。
3)求分度圆弧齿厚上偏差Ess
Ess＝Ewms/cosαn (5)
式中 Ewms——公法线长度上偏差
αn——分度圆齿形角
公法线在齿轮分度圆的切线方向上进行测量而不受齿圈径向跳动的影响。弧齿厚是在齿轮分度圆的径向方向上测量，因此其值受齿圈径向跳动的影响。所以式(5)改为：
Ess＝Ewms/cosαn＋0.72Frtanαn (6)
式中0.72是人为给定的压缩系数，Fr为齿圈径向跳动量。
4)求ΔXn
ΔXn是齿轮的齿厚上偏差造成齿厚减薄形成的附加变位系数，所以
Ess＝2ΔXnmntanαn (7)
当αn＝20°时，可得：
ΔXn＝1.374Ess/mn (8)
因Ewms、Ess是负值，所以ΔXn取负值。
2.确定ΔXcn的步骤
测量齿轮的精度比被测齿轮的精度至少高2级，并且齿面淬硬经磨削加工。为了精确地测出其齿厚在制造时的增量部分，应采用量球测M值的方法求分度圆弧齿厚。
1)选直径为dp的量球，在测量齿轮圆周上均匀分布，测5处跨球距M值，取其平均值。
2)根据量球测跨球距的原理求实测弧齿厚Sc：
(9)
式中 d——分度圆直径
αM——量球中心所在的压力角
(10)
式中 db——基圆直径
3)计算ΔXcn
Sc＝ST＋2ΔXcnmntanαn (11)
式(11)中ST为测量齿轮的固有弧齿厚，其值等于：
ST＝πmn/2＋2Xcnmntanαn
而2ΔXcnmntanαn可称作附加的弧齿厚，它是由制造形成的。所以
ΔXcn＝(Sc－ST)/2mntanαn
当αn＝20°时，可得：
(12)
当Sc＜ST时，ΔXcn取负值。
