在机床主传动系统中，为减少齿轮数目，简化结构，缩短轴向尺寸，经常采用双公用齿轮。但现行的双公用齿轮齿数的设计方法是试算、凑算法，计算麻烦且不易找出合理的设计方案。本文通过对主传动系统中双公用齿轮传动特点的分析与研究，推导和建立了双公用齿轮齿数设计的计算公式，并编写程序实现了双公用齿轮齿数的计算机辅助设计计算，明显提高了设计效率。

1 双公用齿轮齿数的设计方法

如图1 所示，有两个双联滑移齿轮变速组a、b串联组成的变速系统(或变速系统的一部分)，其中Z1、Z2 为公用齿轮。

图1 双公用齿轮组成的变速系统示意图

机床主传动系统多为降速传动，故需将前一变速组(变速组a)作为扩大组，后一变速组(变速组b)作为基本组，则图1中的变速系统的结构式为4=2₂×2₁。设两个变速组的齿数和分别为sa、sb ，标准公比为f，变速组a中的最小传动比为: u=Z₁/Z₁ (1)

变速组b中的最小传动比为: ut=Z₂/Z"₂ (2)

若不采用变位齿轮且各齿轮模数相同，则有: s_a=Z₁(1+u)=Z₂(1+uf²) (3) s_b= Z₁(1+1/(utf))= Z₂(1+1/(uf)) (4)

联立(3)、(4)式求解，得: u= -f+[f²+ 4ft(f+1)]^½ 2ft(f+1)(5)

变换式(5)，得: t= 1-f+u f(f+1)u²(6)

为防止结构过大，变速组b的最小传动比应满足ut≥1/4，由此导出 t≥1/(4u) (7)

将式(7)代入式(6)，得u≤4/(f²+5f)

再取u≥1/4，可得到u值的变化范围: 1 ≤u≤ 4 4 f²+5f(8)

联立式(1)、(8)整理得: Z₁(f²+5f) ≤Z₁≤4Z₁ 4(9)

在机床主传动系统的设计中，其传动比允许存在一定的误差，传动误差为: A= │ u_实-u_理 │ ≤(f-1)×10% │ u_理 │

验算传动比误差时，由于传动比很难取成标准公比的整数次幂，故不便对其全部传动比进行验算。在同一变速组中，只要其中一对齿轮副的齿数确定后，相应的传动比也就确定了，此时，可根据该传动副的传动比和级比规律，确定其它各传动副的传动比，并由此对其它各传动副的实际传动比进行验算。

如图1所示，在变速组a中，若Z₁/Z₁为已定传动比，则只需验算Z₂/Z₂的传动误差A₁即可。 A₁= │ Z₂/Z₂-f²u │ ≤(f-1)×10% │ f²u │(10)令: c₁=1-(f-1)×10%，c₂=1-(f-1)×10%，则，整理式(10)得: f²uc₁Z₂≤Z₂≤f²uc₂Z₂ (11)

同理，在变速组b中，若Z₂/Z"₂为已定传动比，则只需验算Z₁/Z"₁的传动误差A₂即可。 A₂ │ Z₁/Z"₁-fut │ ≤(f-1)×10% │ fut │(12)

将c1、c2 代入式(12)，整理后得: Z₁(f+1)u ≤Z"₁≤ Z₁(f+1)u (1-fu)c₂ (1-fu)c₁(13)

由于不采用变位齿轮且各齿轮模数相同，均为m，根据中心距相等原则，所求结果应满足下面关系式:

m (Z₁+Z₁)= m (Z₂+Z₂) 2 2m (Z₁+Z"₁)= m (Z₂+Z"₂) 2 2(14)

由式(9)可知，当公比f一定，则给定一个Z₁值就可以确定一个Z₁值的范围，进而由式(3)确定Z₂，由式(11)确定Z₂的取值范围。确定Z₂后，由式(2)确定Z"₂ ，进而由式(13)确定Z"₁的取值范围，最后由(14)式验证结果。这样就可以求出比较多的选择齿轮齿数的方案，以便于设计者进行多方案的比较和优化设计。

图2 计算双公用齿轮齿数程序流程图

2 双公用齿轮齿数的计算机辅助计算及实例

按照上述推导的计算公式和设计方法，采用Visual Basic 语言编写程序实现了双公用齿轮齿数的计算机辅助设计计算，方便快速地求出较多的双公用齿轮齿数的设计方案，为进行多方案比较和优化设计创造了必要的前提和良好的条件。图2 是计算机辅助设计计算的程序流程图。

设有一机床的主传动系统，主轴转速级数为8，若在第一、第二变速组中采用双公用齿轮，其结构式为: 8=2₂×2₁×2₄，公比f=1.12，现在对该传动系统中的双公用齿轮齿数进行计算机辅助设计计算。通过计算可得出968个符合传动比要求的齿数设计方案，部分方案数据见表1。如果该主传动系统中的其它条件不变，仅改变公比f的值，同样可计算出相应的双公用齿轮齿数的设计方案。表1 f=1.12时齿轮齿数的选择方案Z₁ 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 Z₁ 32 34 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 37 38 39 40 41 42 33 34 35 36 37 38 35 36 37 38 32 33 34 35 32 33 Z₂ 29 31 33 34 35 36 37 38 38 40 41 42 43 44 45 34 35 36 37 38 39 30 31 32 33 34 35 32 33 34 35 29 30 31 32 29 30 Z₂ 87 80 75 73 71 69 69 66 65 64 63 62 61 60 59 83 80 78 76 74 73 112 106 102 98 94 91 86 84 80 78 84 82 80 78 85 83

在上述计算出较多的齿数设计方案基础上，据所设计机床主传动系统的具体要求，可提出不同的约束条件和目标函数，进而对计算机辅助设计计算得出的众多齿轮齿数方案进行比较和优化设计，从中求出最佳齿轮齿数设计方案。

3 结论

本文通过对机床主传动系统中双公用齿轮传动特点的分析和研究，在齿轮不变位的情况下，得出以下结论:

基于对机床主传动系统中双公用齿轮传动特点的分析研究，提出一种齿轮齿数设计的新方法，并推导了齿轮齿数的计算公式。
对于降速传动的变速系统，采用双公用齿轮的前一变速组最小传动比不是任意给定的，而是应满足条件(1/4)≤u≤[4/(f²+5f)]，否则，第二变速组因传动比过小而无法实现。
通过计算机辅助计算可方便快速地求出较多的符合要求的齿轮齿数设计方案，在此基础上，建立相应的优化设计目标函数和约束条件，可进行多方案的比较和优化设计，以求得最佳设计方案。