2 前刀面数学模型

图2 内前刀面数学模型坐标系
1. 内前刀面
   内前刀面是锥面的一部分，该锥面的锥轴线平行于铣刀轴线，与球的交线形成图2中AB段切削刃。建立如图2所示坐标系。
   坐标系OXYZ：O点为球心，Z轴为铣刀轴线，XOY平面为基本平面。Y轴由X、Z轴右手法则确定，这样确立的切削刃在第一象限。
   坐标系O₁X₁Y₁Z₁：O₁点过球顶点(刀尖)，且是XOY面的平行平面与锥轴线Z₁的交点，X₁、Y₁、Z₁轴分别平行于X、Y、Z轴，其中Z₁轴是锥轴线。
   图2中主要变量说明：
   r为在X₁O₁Y₁平面内刀尖到O₁的距离，是锥半径。Dx为调整参数，以保证切削刃过球顶点。Dy为调整参数，以保证切削刃最高点到XOZ平面的距离。h为变量，确定最高点位置，且保证在最高点处切削刃光滑过渡。
   从图2中可以看出，OXYZ和O₁X₁Y₁Z₁两坐标系之间换算关系为   (1)
   半径为R的球在OXYZ坐标系中方程为 x²+y²+z²=R² (2)
   在X₁O₁Y₁Z₁坐标系中，锥面初始母线的方程为 r_s1=r₁+l (3)
   在图2中 r₁={-rsin(h)     rcos(h)     0}
   l={-lsin(f)sin(h)   -lsin(f)cos(h)   lcos(f)} (4)式中l、(h)为变量，(f)是锥半角。
   则   (5)在O₁X₁Y₁Z₁坐标系中，初始母线r_s1绕Z₁轴旋转形成锥面，设向径为r_E1，转角为b，则   (6)把r_E1转换到OXYZ坐标中，则内前刀面方程为   (7)
   其中h、b、l为变量，且 b∈[0,(p/2)-h+arcsin(Dy-R)] (8)
   图3 外前刀面数学模型坐标系
2. 外前刀面
   外前刀面是有径向前角g_r和轴向前角g_a的平面，此平面与内前刀面相切，其和球相交形成图2中BC段理论切削刃。建立图3坐标系，图中OXYZ坐标系和图2中OXYZ坐标系一样。外前刀面过球面切削刃的最高点B点。B点坐标的确定要保证切削刃在B点光滑过渡，即保证AB段切削刃和BC段切削刃在B点有相同的螺旋角。
   这样，平前刀面的两个方向向量为g_a和g_r，其中 g_a={0     -sin(g_a)     -cos(g_a)} (9)g_r={cos(g_r)     sin(g_r)     0} (10)
   所以平前刀面的法向量为   (11)
   设平面上任一点为P(x，y，z)，B(x_k，y_k，z_k)，则外前刀面方程为 (P-B)N=0 (12)即 sin(g_r)cos(g_a)x-cos(g_r)cos(g_a)y+cos(g_r)sin(g_a)z
   =sin(g_r)cos(g_a)x_k-cos(g_r)cos(g_a)y_k+cos(g_r)sin(g_a)z_k
   =h(13)

3 后刀面数学模型

图4 后刀面螺旋部分数学模型坐标系
1. 后刀面螺旋部分
   建立图4坐标系，图中OXYZ坐标系和图2中OXYZ坐标系相同。O₂X₂Y₂Z₂坐标系的原点O₂在OXYZ坐标系中的坐标为(d，0，0)，Y₂、Z₂轴分别与Y、Z轴平行，X₂轴和X轴重合。
   坐标系OXYZ和O₂X₂Y₂Z₂之间换算关系为
     (14)
   后刀面螺旋部分是初始直线CF(在XOY平面内)绕Y₂轴旋转同时绕Z轴旋转形成的螺旋面。C点在球面上，是切削刃的初始点，在OXYZ中坐标为(X_C，Y_C，0)。
   直线CF上任一点m_c在OXYZ中方程为 r_mc=(x_c    l    0) (15)
   式中l为变量。X_c确定了初始直线的位置，同时也确定了砂轮的初始位置，其值可由理论切削刃和XOY平面交点确定。
   CF转换到坐标系O₂X₂Y₂Z₂中方程为 r_mc2=(x_c-d  l    0) (16)2X₂Y₂Z₂坐标系中，CF绕Y₂轴旋转。设转角为q，向径为r_m2，所以   (17)把r_m2转换到OXYZ坐标系中，设向径为r_m   (18)
   在坐标系OXYZ中r_m绕Z轴旋转形成了后刀面螺旋部分。设转角为F，向径为r，则后刀面螺旋部分方程为   (19)
   其中q、F、l为变量，按右手法则，F应取负值，d为调整参数，x_c为定值。
   
   图5 后刀面平面部分数学模型坐标系
   磨刀时，q和F的实际意义是：q为砂轮绕某轴线的转角，而此轴线要通过调整d确定。F对应与铣刀的自转角，为使切削刃在球面上，q和F之间应有一定的关系。
2. 后刀面平面部分
   建立图5坐标系，图中OXYZ坐标系和图2(见图4)中OXYZ坐标系相同。后刀面平面部分过切削刃的最高点B点(x_k，y_k，z_k)，且与后刀面螺旋部分光滑过渡(相切)。
   平后刀面上的两个方向向量为 a_q=[-sin(q_max)   0   cos(q_max)]
   a_F=[-sin(F_max)   -cos(q_max)   0] (20)式中 q_max——螺旋后刀面q的最大值F_max——螺旋后刀面F的最大值，q_max和F_max如图4所示。
   则平后刀面的法向量为  (21)
   设后刀面平面上任一点P的向径为r_p，则后刀面平面部分方程为 (r_p-r_B)n =0 (22)
   即 cos(q_max)cos(F_max)x-cos(q_max)sin(F_max)y+sin(q_max)cos(F_max)z
   =cos(q_max)cos(F_max)x_k-cos(q_max)sin(F_max)y_k+sin(q_max)cos(F_max)z_k
   =T(23)其中由F_max由q_max确定，而F_max由x_k、y_k、z_k确定。

4 实际切削刃

5 结语