图1 径向圆体成形车刀加工锥面数学模型

概述

径向圆体成形车刀加工工件圆锥面时，由于刀具前刀面平面没有通过工件圆锥面轴线，要使加工出的圆锥面形状准确，刀具的刃形就必须做成刀具前刀面与工件圆锥面相交得的双曲线。在实际制造时，由于双曲线刃形制造复杂困难，刃形精度不易保证，通常把径向圆体成形车刀也做成圆锥面。由于刀具前刀面与径向成形车刀本身的圆锥表面相交的曲线也为双曲线，该双曲线就是刀具的实际刃形曲线，这样就造成成形车刀的实际刃形双曲线与成形车刀应具有的刃形双曲线不一致(见图1)，从而产生双曲线误差，它影响了被加工工件的精度。

径向圆体成形车刀加工圆锥面的双曲线误差的大小与被加工工件锥半角a_w,锥长l_w，锥小头半径r_1w以及刀具前角γ_f,后角a_f,刀具的最大半径R₁有关。

1 数学模型

径向圆体成形车刀加工圆锥面的数学模型如图1所示，图中oxyz坐标系为工件坐标系，且不难得出：

工件圆锥面在oxyz中的方程：
x²+y²=(r_1w-ztgα_w)² (1)
其中：r_1w—工件圆锥小头半径

α_w—工件圆锥锥半角

刀具前刀面平面在oxyz中的方程 x+ctgγ_fy=r_1w (2)

其中：γ_f—圆体成形车刀的前角

圆体成形车刀圆锥面在oxyz中的方程：
(x-r_1w-R₁cosα_f)²+(y-R₁sinα_f)²=(R₁+ztgα_c)² (3)
其中：R₁—圆体成形车刀最大半径

α_f—圆体成形车刀的后角

α_c—圆体成形车刀的锥半角
tgα_c=(R₁-R₂)/l_w，R₂为与工件锥面大头半径r_2w处对应的圆体成形车刀半径，可用下式计算：

因此有刀具前刀面平面与工件锥面相交双曲线(理论刃形)方程：

刀具前刀面平面与圆体成形车刀本身圆锥面相交的双曲线(实际刀刃刃形曲线)的方程：

取一系列的垂直于Z轴的平面(即取一系列的z值)，分别与式(5)、式(6)理论刃形双曲线和实际刃形双曲线相交，分别得到一系列点，设与理论刃形双曲线相交的点为(x_wi,y_wi,z_i)，与实际刃形双曲线相交的点为(x_ci,y_ci,z_i)，这两点之间的距离Δ_i在xoz平面的投影δ_i直接反映了该圆体成形车刀加工工件以后对工件半径方向上精度影响的大小。

求解时由于式(5)、式(6)为一元二次方程，均有两解，因此，y_ci的值为负应取为较大值，y_wi的取值应取为负的那个值。

图2 n=3时分段设计示意图

2 圆体成形车刀的分段设计

在成形车刀设计时，工件锥面起止半径r_1w、r_2w，锥长l_w，刀具最大半径R₁，前角γ_f，后角α_f都对双曲线误差的大小有影响，但当加工某一给定锥面时，若最大双曲线误差δ_max大于被加工工件锥面许用误差值[δ]([δ]一般为被加工工件锥面径向公差带宽度的1/3-1/5)，可以采用分段设计的方法。即把刀具圆锥面制成几段锥面，使每段锥面的最大双曲线误差δ_max均在工件许用误差[δ]以内。具体地讲，若给定某一工件圆锥面，选取圆体成形车刀适当的α_f，γ_f，R₁，计算其最大双曲线误差δ_max，若δ_max>[δ]，则将锥长二等分，再计算δ_max，若δ_max>[δ]，则将锥长三等分，如此计算下去，直到使每段δ_max<[δ]为止，如图2所示。

需要特别说明的是：分段设计时每一段双曲线误差的计算是一个较复杂的问题，对于给定工件形状尺寸r_1w，r_2w，l_w以及刀具前角γ_f，则刀具刀刃应具有的理论刃形也就确定，其理论刃形曲线在对应工件半径较大的地方，其曲率半径也较大，因而对双曲线误差的影响相对较小。由于实际刀刃刃形是由数条双曲线组成，每个锥面虽然截平面(前刀面)相同，但组成各锥体的大小头半径以及锥角均发生变化，而每段等锥长，锥角相差不大，显然小头半径较大锥体(对应工件半径也较小)的双曲线曲率半径较大，因而对双曲线误差的影响也较小。综合以上两者对双曲线误差的影响，同时γ_f变化不大，可以认为每一段的最大双曲线误差δ_max相差不大(利用所编制程序计算结果也如此)。因此，在设计时，只需计算第一个分段锥体即可，此时R₂应按以下确定：

式中：x_w1，y_w1为当Z=-l_w/n时式（5）所求得的数值，n为等分数。

将式(8)R₂表达式代入tgα_c=(R₁-R₂)n/l_w，求出α_c的值，再将α_c的值代入式(6)，并令Z=Z_i(Z_i=0--l_w/n)，可得一系列的点(x_ci,y_ci,z_i)，再利用式(7)通过计算机比较得出δ_max，这样等分直到使δ_max<[δ]为止。此时，圆体成形车刀各组成段锥的半径计算应是令Z=0,-l_w/n,-2l_w/n，-3l_w/n，……，-nl_w/n，用式(5)求得一系列点(x_wi,y_wi,-il_w/n)，再求该点到圆体成形车刀轴线的距离，即到点(r₁+R₁cosα_f,R₁sinα_f，-il_w/n)的距离，这些距离的值也就是径向圆体成形车刀在各等分点处设计所要求的半径，各等分半径构成了圆体成形车刀的形状。

计算框图及程序略。

下表为几组计算实例。
编号参数
l_w r_1w r_2w R₁ δ_max [δ] δ_nmax n R₂ R₃ R₄ 1 20 30 35 50 0.017 1 45.392 2 30 40 55 68 0.127 0.08 0.029 2 61.099 54.428 3 20 30 50 60 0.300 0.05 0.026 3 50.880 53.869 47.949 4 30 35 42 55 0.031 1 48.573 5 25 25 45 55 0.344 0.08 0.069 2 45.905 37.420 6 35 25 42 55 0.229 0.05 0.0485 2 47.237 39.884 7 28 20 42 65 0.101 0.08 0.029 2 59.469 54.091