一、问题的提出
根据被加工螺纹直径和螺距的大小，以及被加工材料的性能，成组丝锥可设计成2支一组、3支一组或4支一组。通常采用的设计方法有两种：等径设计和不等径设计。
等径设计是指在一组丝锥中，每支丝锥的大径、中径和小径的名义尺寸均相同，区别仅在于切削锥长度不一样。第一锥的切削锥长度最长，第二锥次之，第三锥最短。切削锥越长，参加切削的刀齿就越多，每个刀齿分担的切削负荷相应减小，使用寿命随之延长；反之，则每个刀齿分担的切削负荷越大，使用寿命也就越短。由于采用等径设计，丝锥的刀齿主要是以顶刃参加切削，两个侧刃对螺纹的廓形基本上无修正作用，因此，被加工螺纹的表面粗糙度较差，其切削图形如图1a所示。
(a) (b)
图1
为了提高螺纹的精度和改善表面粗糙度，可采用不等径设计方法。不等径设计是指在一组丝锥中，每支丝锥的大径、中径和小径的名义尺寸各不相同。这种丝锥在切削时，顶刃和侧刃同时参加切削，增加了切削的有效长度，切削面薄而窄，散热条件好，每个刀齿对螺纹的齿廓均有修正作用。由于切削负荷分配合理，使丝锥的使用寿命得以延长，被加工螺纹的表面粗糙度得到改善。目前，在小直径及大直径螺纹加工中，成组不等径丝锥得到了广泛应用。其切削图形如图1b所示。
在不等径设计中，各支丝锥的大径、中径和小径的名义尺寸是根据丝锥在螺纹加工中所承担的负荷分配量来确定的。负荷分配量即每支丝锥所承担的金属切除量，也即在加工整个螺纹牙型的总面积中，每支丝锥所承担的加工面积。以M12丝锥为例，当成组丝锥为2支一组时，头锥承担的切削面积为75%，二锥为25%；当成组丝锥为3支一组时，头锥承担的切削面积为60%，二锥为30%，三锥为10%。
长期以来，成组不等径丝锥的设计均沿用经验公式，至于该公式是如何推导出来的，准确性如何，没有详细资料，因此设计者在使用该公式时，多少带有一些盲目性。为克服这一不足，本文提出一种新的设计方法，在新方法中引用了数学模型——等差数列求和。
二、“等差数列求和”在成组不等径丝锥设计中的应用
1. 在2支一组成组丝锥中的应用
1) 细分原始三角形的面积，建立数学模型
众所周知，普通螺纹的原始三角形是等边三角形，它的高H=Pcos30°=0.866P，上齿高的削平高度为1/8H，下齿高的削平高度为1/4H，因此，细分时的行数必须是8的整倍数，这样有利于保证计算的准确性。现设细分行数是64行，细分后每一个微量等边三角形为原始三角形总面积中的一个单位面积。
(a) (b)
图2
由图2可知，每行中微量等边三角形的个数为
n=1a1=1
n=2a2=3
n=3a3=5
…
an=2n－1
很显然，这是一个等差数列。根据普通螺纹基本牙型的要求，齿顶去掉8行，齿底去掉16行，得到一个高度为40行的等腰梯形。
2) 确定等腰梯形的总面积和头锥所承担的切削面积
由图2可知
首项n=1a1=17
项数n=40
末项n=40a40=a1+2(n－1)=17+2(40－1)=95
总面积S=½(a1+a40)×n=½(17+95)×40=2240
单位面积的高DH=P×cos30°÷64=0.01353P
头锥切削面积S1=75%S=0.75×2240=1680
3) 确定头锥的切削面积在基本牙型总面积中的位置
经过反复计算，其位置如图2所示。
项数n=33
首项a1=19
末项a33=19+2(33－1)=83
面积S1=½(19+83)×33=1683
核算负荷量1683÷2240×100%=75.1%，符合要求
4) 计算头锥的大径、中径和小径分别相对于二锥的大径、中径和小径的单侧位移量
由图2可知
大径单侧位移量Dd大=7DH
中径单侧位移量Dd中=6DH
小径单侧位移量Dd小=Dd中=6DH
5) 确定头锥大径、中径和小径名义尺寸公式
大径d大=d大－14DH=d大－14×0.01353P=d大－0.189P
中径d中=d中－12DH=d中－12×0.01353P=d中－0.162P
小径d小=d小－0.162P
其中，d大、d中、d小分别为二锥的大径、中径和小径的名义尺寸，其计算方法按《丝锥螺纹公差》(GB968—83)中所列公式，本文从略。
2. 在3支一组成组丝锥中的应用
1) 细分原始三角形的面，建立数学模型(同前)
2) 确定等腰梯形的总面积及头锥、二锥所承担的切削面积(见图3)
图3总面积S=½(17+95)×40=2240
头锥的切削面积S1=60%S=0.6×2240=1344
二锥的切削面积S2=(60%+30%)S=0.9×2240=2016
3) 确定头锥和二锥的切削面积在基面牙型总面积中的位置
a. 头锥
项数n=28
首项a1=21
末项a28=21+2(28－1)=75
面积S1=(1)/(2)(21+75)×28=1344
核算负荷量1344÷2240×100%=60%，符合要求
b. 二锥
项数n=36
首项a1=21
末项a36=21+2(35－1)=91
面积S2=½(21+91)×36=2016
核算负荷量2016÷2240×100%=90%
90%-60%=30%，符合要求
4) 计算头锥、二锥的大径、中径和小径分别相对三锥的大径、中径和小径的单侧位移量
由图3可知头锥与二锥单侧位移量如下：
a. 头锥
大径单侧位移量Dd大=12DH
中径单侧位移量Dd中=10DH
小径单侧位移量Dd小=d中=10DH
b. 二锥
大径单侧位移量Dd大=4DH
中径单侧位移量Dd中=2DH
小径单侧位移量Dd小=d中=2DH
5) 确定头锥、二锥的大径、中径和小径的名义尺寸公式
a. 头锥
大径d大=d大－24DH=d大－0.325P
中径d中=d中－20DH=d中－0.271P
小径d小=d小－20DH=d小－0.271P
b. 二锥
大径d大"=d大－8DH=d大－0.108P
中径d中"=d中－4DH=d中－0.054P
小径d小"=d小－4DH=d小－0.054P
通过以上分析和计算，设计步骤归纳如下：
1) 根据要求对原始三角形进行细分，建立数学模型。
2) 根据普通螺纹基本牙型的要求，计算出其总面积，再根据3) 头锥和二锥所承担的负荷量，分别计算出它们的切削面积。
4) 确定头锥和二锥的切削面积在基面牙型总面积中的位置。
5) 计算头锥和二锥的大径、中径和小径分别相对三锥的大径、中径和小径的单侧位移量。
6) 确定头锥和二锥的大径、中径、小径的名义尺寸。
三、结论
1) 用“等差数列求和”的数学模型来确定成组不等径丝锥中头锥和二锥的大径、中径和小径的名义尺寸，理论上非常精确，分析时直观明了，操作上切实可行。
2) 可根据需要将原始三角形以8的整数倍任意细分，细分后的单位面积越多，计算结果越精确。
3) 可根据需要任意确定不等径丝锥中丝锥的数量以及所分配的负荷量。
4) 本方法不仅适用于左右牙型半角对称、牙型半角为30°的普通螺纹，也适用于对牙型半角有特殊要求的螺纹，如牙型半角为14°30、15°、20°、27°30和40°的螺纹。
