1 概述
平衡式叶片泵定子内表面的曲线是由两段长半径大圆孤，两段短半径小圆孤以及连接大、小圆孤的过渡曲线组成，四个连接曲线正好对应着泵的四个吸、压油腔。大、中圆孤之间过渡曲线的形状决定了叶片的运动状态，对泵的性能和寿命影响很大。随着叶片泵向高压高速度方向发展，泵的性能也越来越高，定子内曲线上的大、小圆孤段越来越不明显，整个曲线主要由过渡曲线组成。本文简要介绍了逆工程方法，以及其在定子内曲线数控编程系统中的应用，对定子内曲线进行处理的数学方法——四次EB样条方法和双圆孤逼近法也作了介绍。
2 系统体系结构
定子内曲线数控编程系统是在WindowsNT环境下用Visual C++语言开发的，采用面向对象的设计方法，整个系统的体系结构如图1所示。
图1 系统体系结构
3 逆工程的基本原理
逆工程（Reverse Engineering）［2］也称为反求工程，是针对消化吸收先进技术的一系列分析方法和应用技术的组合，它是以先进产品设备的实物、软件（图纸、程序、技术文件等）或影像（图片、照片等）作为研究对象，应用现代设计理论方法、生产工程学、材料学和有关专业知识进行系统深入地分析和研究，探索掌握其关键技术，进而开发出同类的先进产品。逆工程含义广泛，包括设计反求、工艺反求、管理反求等。
实物反求是以产品为依据，对有关产品的设计原理、结构、材料、工艺装配、包装使用等进行分析研究，研制开发出与原型产品相同或相似的新产品。因此，这是一个认识产品、再现产品或创造性地开发产品的过程。
4 系统功能模块划分及实现方法
按照系统的体系结构和数控编程的基本方法，可以把系统划分为以下功能模块：数据获取；定子内曲线拟合；定子内曲线的刀位点计算；数控代码的编制；数控加工仿真。
(1)数据获取
逆工程一般起始于测量一个已存在的实体，我们用坐标测量机（Coordinate Measuring Machine，缩写为CMM）测量实际工件以获取数据，并根据测量路径及测量方向，对测量数据包含的测头半径进行了修正的预处理。CMM是最常用的测量方法之一，它测量精度高，操作容易，抗干扰性好，成本低。
（2）定子内曲线拟合
处理自由曲线的数学方法很多，如三次参数样条、Bezier曲线、B样条曲线、非均匀有理B样条（NURBS）以及EB样条等方法。CMM测量所得的数据是定子内曲线轮廓上的一系列离散点，我们将其经拟合处理后获得的曲线作为定子内曲线的理论轮廓，其精度的高低，取决于离散点的数量和分布以及所采用的拟合方法：
根据叶片泵的设计理论，其性能对定子曲线有如下要求［1］：①使输出流量脉动小；②使叶片不脱离定子；③叶片无冲击振动，低噪声；④使叶片的受力状态良好。
在定子的反求设计中，性能的变化要求定子曲线能够作局部的修改，在本系统中，我们选择四次EB样条方法进行曲线的拟合，四次EB样条方法具有局部修改曲线的功能。下面对四次EB样条方法作一简要的介绍。
四次EB样条的矢值方程［3］为：
(1)
其中，Ej(t)是关于参数t的四次多项式，称为四次EB样条基函数。给定EB样条的连接条件，可导出下式：
Pi(t)=Gi(t)+kFi(t)
(0≤t≤1;i=1,2,…，n-3) (2)
其中：
四次EB样条的局部修改性好，而且由于在EB样条中曲线方程中引入了一个几何意义比较明显的参数k，使设计者能直观地对曲线的形状进行调整；用四次EB样条作插值运算时，其设计方法和计算方法均不变，仅需将参数k取为零。这对计算程序的编制极为有用，且计算速度比采用B样条插值曲线时的反算要快得多。
（3）定子内曲线的刀位点计算
数控系统一般都不具备样条曲线的插补功能，自由曲线进行拟合后，还必须用直线段或圆孤进行二次逼近，才能编制数控加工程序，双圆孤逼近法因计算相对简单，具有C1连续，可解决曲线存在拐点的问题，同时精度和光滑性能都比较高等优点，在工程上获得了广泛的应用。下面对双圆孤逼近法加以介绍。
双圆孤逼近是在曲线起点P1、终点P2决定的区间内，根据端点位置及切线角（端点切线与P1P2所夹角为锐角），用两个半径不同的相切的圆孤逼近原曲线，使得逼近误差小于给定精度。
图2中，以一般曲线的两端点P1(t1)、P2(t2)为x轴，P1点为原点，建立局部直角坐标系xoy。在此坐标系中，设曲线在P1P2区间单调单值，曲线方程为：
（3）
图2 双圆孤逼近
设P1P2的长度为L，端点切线为P1c、P2c，根据这些边界条件构作P1和P2间的两段彼此相切的圆孤D1和D2，两相切圆孤的圆心和半径分别为o1、o2和R1、R2，其余角度关系如图2所示。角度均匀有向角，绕端点逆时针为正，顺时针为负。
由图2可得出下述关系式：
在等腰三角形P1M1T中
θ1-δ=α１-θ1
于是
θ1=（α１＋δ)/2
同理
θ2=(α2＋δ)/2
在ΔP1TP2中
∠P1TP2=π-(θ1-θ2)=π-(a1-a2)/2
对圆孤样条，切点T的轨迹为通过P1和P2的圆，用双圆孤逼近曲线时先构作局部坐标系下的样条，找出全部拐点，将拐点作为新型值点播入原有型值点间，重新用圆孤样条插值，这样使局部样条每一段内均不含拐点。为此，我们必须将公切点选在ΔP1cP2内，即要求
δ＜min(｜a1｜,｜a2｜)
在ΔP1TP2中，由正弦定理知
P1T=［sinθ2/sin(θ1-θ2)］L
作O1E⊥P1T，则在ΔO1P2E中求得
R1=P1E1/sin(α1-θ1)＝P１T／［2sin(α1-θ2)］
=sinθ2/［2sin(α1-θ1)sin(α1-θ2)］L
故
R1=sin［(a2+δ)/2］
/｛2sin［(a1-δ)/2］sin［(a1-a2)/2］｝ （4）
同理
R2=sin［(a1+δ)/2］/
2sin［(a2-δ)/2］sin［(a1-a2)/2］ （5）
注意式(4)、式(5)中R1、R2的正负号：L总为正，α1、α2、δ正负号按前述规定。R1<0，表示第一段圆孤D1从P1到T取向顺时针；反之即逆时针。R2也一样。这在数控加工和计算机绘图时，可判断圆孤走向。
为使双圆孤连接尽可能地光顺，减少曲线的波动，使R1和R2差别尽量小，公切点的选择参考下面几种情况：
①δ=(a1+a2)/2，此时可使｜R2-R1｜=min;
②δ=0，此时可使｜R1/R2-1｜=min；
③δ=－（a1+a2）／2，此时可使｜（1/R2）-（1/R1）｜
=min。
④取圆孤与样条曲线的交点为公切点。
本系统中应用公式最简单且实用效果也较好的第二种方法。
求出R1、R2之后，就可求出局部坐标系下的圆心，通过坐标变换可获得在总体坐标系下的数据。
（4）数控代码的编制
数控代码的编制是将刀位数据、相应的切削条件、辅助信息等处理成数控系统所要求的指令和格式。并能自动地输出零件加工程序单，由计算机将加工指令通过通讯接口直接传送给数控系统。本系统中通过读取刀位数据文件，提取每一特征段的刀位信息，结合切削参数、辅助信息等，获得该特征段的数控加工指令，循环操作，即可得到定子数控加工的数控代码。
(5)数控加工仿真
对零件的加工过程进行动态仿真，就是在计算机屏幕上用二维或三维图形动态模拟零件数控加工的全过程，显示刀具运动的轨迹和走向，直观显示刀具与工件、刀具与夹具相互间的位置关系，以帮助编程员检查NC程序的合理性和正确性。
本文介绍的定子内曲线数控加工的计算机仿真系统，通过在屏幕上动态显示刀具的运动轨迹，实现以下的功能：
①检查NC代码的正确性；
②检查刀具与工件的碰撞与干涉；
③检查加工路线是否合理；
④检查是否存在过切现象。
5 结论
通过对定子曲线数控编程系统的设计原理、开发方法的介绍，以及在实际生产中的应用，可以得出如下结论：
(1)定子内曲线数控编程系统，实现了代码自动编制，提高了编程的效率和精度；
(2)利用逆工程的思想，可以对已有零件结构和性能上的不足进行修正，进而设计制造出性能优良的定子零件。
