齿轮的齿廓曲线比较复杂，当用齿条刀具加工齿轮时，齿廓曲线由三段组成，如图1所示：Ⅰ、Ⅲ两段为延伸渐开线的等距曲线，Ⅱ段为齿轮的齿根圆圆弧，其余为渐开线。过渡曲线不参与齿轮的啮合运动，但是它对于齿轮的弯曲强度具有重要意义。所以在齿轮的实体造型中有必要对包括过渡曲线在内的齿廓曲线进行精确绘制，以满足轮齿造型的准确性，更可靠的满足强度计算和实际生产的需要。本文以实际生产中最常用的齿条刀具加工出的直齿圆柱齿轮为例，描述了一种准确的计算轮齿的齿廓截面曲线的算法，并将之应用于基于SolidEdge的齿轮三维造型系统。
一 渐开线方程
1. 渐开线参数方程
以下为渐开线在图2示坐标系下以αi 为参数的参数方程：
x=cos[π(1/2+2/z)-+2(invαi -invα)]
y=sin[π(1/2+2/z)-+2(invαi -invα)]
其中si 表示轮齿任意半径ri圆周上的齿厚。αi 、θi 分别为ri圆上的压力角和渐开线展开角， s、r、α、θ分别为分度圆上的齿厚、半径、压力角和渐开线展开角。z表示齿轮的齿数。
2. 渐开线齿廓起始点的确定
如图3 所示：用F 表示齿条齿廓上直线段的起点，F点将在啮合线（两齿廓接触点在固定平面上的轨迹）PG上的G点和被切齿廓相啮合，从这一点开始形成渐开线齿廓。在一般情况下，不等于rb ,在被切齿轮上渐开线齿廓的起点G ，不和渐开线起始点重合。
以下得到渐开线齿廓起始点：
αG =arctan[tanα- ]
渐开线齿廓开始形成的圆的半径为
OG =
二 过渡曲线方程
用齿条型刀具加工齿轮，相当于齿条齿轮的啮合。被加工齿轮齿廓的渐开线部分由刀具切出，过渡曲线部分由刀具的圆角部分切出。加工过程中，刀具的加工节线与齿轮的加工节圆相切纯滚，显然，刀具圆角的圆角将描出延伸渐开线,于是,可得到齿轮的过渡线是延伸渐开线的等距曲线。
下面求延伸渐开线等距曲线的方程式。用齿条型刀具加工齿轮，是刀具的加工节线与齿轮的加工节圆相切纯滚。可以得到延伸渐开线的等距曲线的参数方程式：
x = rsinφ-(+ rp)cos(α'-φ)
y = rcosφ-(+ rp)sin(α'-φ)
在方程式中， φ= （a1 ctgα' + b） ； a1 = fm + cm - rp - x m ；
b = + fm tanα+ rp cos α ； rp =
a 表示刀顶圆角圆心距中线的距离； b 表示刀顶圆角圆心距刀具齿槽中心线的距离；rp 表示刀顶圆角半径； f 表示齿高系数；c 表示齿顶系数。
在参数方程中中，α'角是变参数，α'在α～90o范围内变化。对于不同的α'角，分别代入过渡曲线刀具的参数，即可求得过渡曲线上不同点的坐标。
三 坐标变换
通过以上方法计算出的渐开线方程和过渡曲线的方程并未在一个坐标系内，所以必须进行坐标变换，才能利用所得到的曲线方程进行CAD绘图。
设渐开线方程所在坐标系为xoy ，过渡曲线所在坐标系为XOY 。可以利用渐开线的起始点与过渡曲线的起始点重合这一关系，确定坐标变换方程。
将渐开线起始点压力角αG 代入渐开线参数方程，即得该点G 的坐标 xG,yG。将压力角α代入过渡曲线参数方程，即得过渡曲线起始点坐标 Xα，Yα。可以计算从过渡曲线起始点到渐开线起始点的差角 :
ξ=arccos-arccos
则利用以下坐标旋转方程即可得到过渡曲线在xoy 坐标系中的方程：
x = cos[ξ+arctan(Y/X )]
y = sin[ξ+arctan(Y/X )]
四 在SolidEdge绘制三维图
SolidEdge提供了API(Application Program Interface)编程接口，我们可以通过在VB或者VC程序中调用SolidEdge的接口指针获得它各个对象层次的属性和方法完成三维零件图的绘制。按照以上所建立的方程，即可计算出整个齿轮齿廓的坐标。按照以上方程计算出整个齿轮齿廓的坐标并利用SolidEdge的B样条函数对象BSplineCurve2d对齿廓曲线进行插值拟合。利用SolidEdge零件模块轮廓对象application.part.profile进行空间坐标选择和计算，然后利用SolidEdge的Revolvedprotrution和Extrudedcutout等方法（旋转和拉伸特征）绘制出齿轮零件的三维实体。
结论
笔者应用以上方法在基于SolidEdge的高级齿轮造型系统中完成了直齿轮、斜齿轮、锥齿轮等的三维造型。笔者在高级齿轮造型系统中所绘制了如以下两图所示的直齿圆柱齿轮齿廓以及三维轮齿并进行了干涉检查，证明齿轮的齿面接触良好。
