摘要:在球头立铣刀端刃CNC四轴重磨削的实际加工过程中,经常出现由于砂轮磨损而加工不到位的问题。本文对这种情况下产生的误差进行分析和研究,以便在实际加工中进行控制和消除。

1 引言

在球头立铣刀实际重磨削加工过程中,由于球头立铣刀端刃磨损较大,导致球头立铣刀前刀面、后刀面在磨削时要磨去较多余量,这时,磨削过程不能一次完成,而必须分几次进行磨削,因而需要计算刀具轨迹;而且在磨削过程中,由于砂轮磨损会使砂轮半径补偿过小,以致于加工不到位。因此,当导动偏转轴与旋转轴的夹角为α,实际磨削出的已加工前刀面与理论前刀面间相差距离为σ时,必须研究球头立铣刀前、后角误差和砂轮的走刀轨迹。

2 端刃前角误差分析

前角误差分析。

当球头立铣刀装夹在夹具上时, P₀M₀为理论上应磨到的前刀面所在的平面π, M₁P₀₁为磨削时已加工前刀面所在平面π₁。作平面π₁垂直于Y轴,该平面与XOZ坐标平面平行,其在Y轴上距原点O的距离为|OP₀₁|=Rsinα-σ,则平面π₁的方程为Y=Rsinα-σ;而球面的方程为X²+Y²+ Z²=R²;将两方程联立解得X²+Z²=R²cos²α+2 Rσsinα-σ²

可以看出,截面曲线r₁为圆的一部分,其方程为{X²+Z²=R²cos²α+2 Rσsinα-σ²Y=Rsinα-σ

在平面π₁内增加转角参数ω,则端刃曲线r₁的参数方程为{X=-√sinωR²cos²α+2Rσsinα-σ²Y=Rsinα-σZ=√cosωR²cos²α+2Rσsinα-σ²令r=(R²cos²α+2Rσsinα- σ²)^½,则端刃曲线r₁的参数方程简化为{X=-rsinωY=Rsinα-σZ=rcosω

端刃曲线上任一点M₁的坐标为(x_m1=-rsinω, y_m1=Rsinα-σ, z_m1=rcosω) ;当曲线r₁绕X轴旋转α角后,在o-xyz 坐标系下任一点M₂的坐标为x_m1=rsinω, y_m1=(Rsinα -σ) cosα -rsinαcosω, z_m1=(Rsinα-σ)sinα+rcosαcosω;旋转后圆心P₁的坐标为[x]=[100][0]=[0]y0cosα-sinαRsinα-σ(Rsinα-σ)cosαz0sinαcosα0(Rsinα-σ)sinα

点M₂处的法平面方程为-cosωX+sinαsinωY-Zcosαsinω=0, 法平面法幺矢n₁⁰={-cosω, sinαsinω, - cosαsinω} 。

由于偏移平面π₁( P₁M₂所在平面) 平行于前刀面π(PM所在平面) ,而前刀面π的方程为Ycosα+Zsinα-Rsinα=0,其法幺矢为n₂⁰={0 , cosα,sinα},得偏移平面方程为Y+Ztgα-Rtgα+σ=0 ,其法幺矢为n₂⁰={0 ,cosα,sinα};法平面与前刀面交线的单位方向向量a₁⁰=n₁⁰×n₂⁰;代入后a₁⁰={sinω,sinαcosω, -cosαcosω}。

截面曲线任上一点M₂的基面为过Z轴和M₂点的平面,因基面过OZ轴,所以基面的法向量垂直于OZ轴和M₂O ,基面法向量n₃=K×M₂O;基面法幺矢n₃⁰={-[cosα(Rsinα-σ)-rsinαcosω]/R, -rsinω/R, 0},法平面与基面交线方向量a₂=n₁×n₃,其单位向量a₂⁰={-rsinω/R, [cosα(Rsinα-σ)-rsinαcosω]/R, [sinα(Rsinα-σ)+rcosαcosω]/R}

法平面与前刀面交线单位方向向量a₁⁰={sinω, sinαcosω, -cosαcosω}由于a₁⁰与a₂⁰的夹角即为法向前角的余弦,所以法向前角γ_n可由cosγ_n=a₁⁰a₂⁰求得,有γn=arccos(√R²cos²α+2Rσsinα-σ²)R

这说明,当前刀面磨削不到位,仍用原程序进行磨削加工时,球头立铣刀的法向前角γ_n并不等于偏转角α,而是γ_n小于α角。例如:若取α=8°,砂轮磨损σ=0.1mm,则实际磨出的球头立铣刀的法向前角γ_n=7.358 ;若α=12°,砂轮磨损在半径上为σ=0.1mm,则实际磨出的球头立铣刀法向前角γ_n=11.35。

3 端刃后角误差分析

后角误差分析。

球头立铣刀端刃上任一点M₁的坐标为已知,A₂点坐标为{x_A2=0y_A2=cosα{(Rsinα-σ)+rctgØ}z_A2=sinα{(Rsinα-σ)+rctgØ}

圆锥面的方程为cosα{Y-cosα(Rsinα-σ)+rctgØ}+sinα{Z-sinα(Rsinα-σ)+rctgØ}=cos²ØX²+{Y-cosα(Rsinα-σ)+rctgØ}²+{Z-sinα(Rsinα- σ)+rctgØ}²

M₂处的法平面方程为-cosωX+sinαsinωY-Zcosαsinω=0

圆锥面与M点所在的法平面的交线l₂的单位方向向量l₂⁰为l₂⁰={sinωsinØ, cosαcosØ+sinαcosωsinØ, sinαcosØ-cosαcosωsinØ}

端刃曲线上一点M₂切平面法向量n₅={-rsinω, (Rsinα-σ)cosα-rsinαcosω, (Rsinα-σ)sinα+rcosαcosω}

切平面的法幺矢n₅⁰={-rsinω, (Rsinα-σ)cosα-rsinαcosω, (Rsinα-σ)sinα+rcosαcosω}RRR

切平面与法平面交线的方向量l_TF⁰=n₅⁰×n₁⁰l_TF⁰={sinω(Rsinα-σ), sinαcosω(Rsinα-σ)+rcosα, -cosαcosω(Rsinα-σ)+rsinαRRR

刀刃曲线上任一点M₂点的法向后角,即是过点M的法平面与主后刀面(锥面) 的交线矢量和M₂点的切削平面与法平面交线的方向向量的夹角的余角。法向后角α_n可由式cosα₂=l_AF⁰·AM₂⁰求得,由于cosα_n=[sinØ(Rsinα-σ+rcosØ)]/R,所以α_n=arccos{sinØ(Rsinα-σ)+cosØ√R²cos²α+2Rσsinα-σ²R通过与理论后角α_n相比较发现,若有一定σ距离后,实际法向后角α_n变大了。例如:取偏转角α=8°,α_n= 8°,则应取Ø=16°;然而当σ=0.1mm 时取Ø=16°,偏转角α=8°时,α_n=8.63°。

4 刀槽底线误差分析

在XZ平面内刀槽底线的分析。

由于刀刃曲线上任一点M₂,在绕X 轴旋转前在O-xyz坐标系下为点M₁,它在一个垂直于Y轴,平行于XOZ平面的平面内,当以O为原点建立坐标系o-xyz坐标系时,则底线的参数方程为{X=-√sinωR²cos²α+2Rσsinα-σ²Y=Rsinα-σZ=√cosωR²cos²α+2Rσsinα- σ²

令r=(R²cos²α+2Rσsinα- σ²)^½,则底线上任一点M₁₀的坐标为{x_m10=-rsinωy_m10=Rsinα-σz_m10=rcosωO点的坐标为{x=2rsinØy=Rsinα2σz=r(cosØ-1)

OA⁰=(0 ,0 ,1)

OM₁₀⁰={-sinω-sinØ, 0 ,cosω-cosØ+1}√(sinω-sinØ)²+(cosω-cosØ+1)²√(sinω-sinØ)²+(cosω-cosØ+1)²由cosθ=OA⁰OM₁₀⁰化简得ω=θ+ arcsin{sinθ- sin(θ-Ø)}cosω=cosθ√-sinθ{sinθ-sin(θ-Ø)}1-(sinθ- sin(θ-Ø))²sinω=sinθ√+cosθ{sinθ-sin(θ-Ø)}1-(sinθ- sin(θ-Ø))²

在以O点为原点的坐标系O-xyz中,M₁₀点所在曲线的参数方程为{X=-r(sinω-sinØ)Y=RsinαZ=r(cosω-cosØ+1)

将sinω和cosω代入上式,则得刀刃曲线与θ及Ø的关系式为{X=-r{sinθ√+cosθ[sinθ-sin(θ-Ø]sinØ}1-[sinθ-sin(θ-Ø)]²Y=Rsinα-σZ=r(cosθ√-sinθ[sinθ-sin(θ-Ø)]-cosØ+1}1-[sinθ-sin(θ-Ø)]²

而tgθ=(sinω-sinØ)/(cosω-cosØ+1), 所以刀槽底线上任一点M₁₀(x, y, z)的坐标为

x_m10=-√{sinθ√+=cosθ[sinθ- sin(θ-Ø)]sinØ}R²cos²α+2Rσsinα-σ²1-[sinθ-sin(θ-Ø)]²

y_m10= Rsinα-σ

z_m10=-√{cosθ√+sinθ[sinθ-sin(θ-Ø)]cosØ+1}R²cos²α+2Rσsinα-σ²1-[sinθ- sin(θ-Ø)]²式中θ=arctan(sinω-sinØ)/(cosω-cosØ+1)

通过与理论刀槽底线值比较发现,若有一定σ距离后,实际加工出的球头立铣刀前刀面底线应比理论刀槽底线高,如果在实际磨削时,程序仍按理论高度Z 加工,则球头立铣刀的实际前刀面刀槽将会变深,削弱了刀槽芯部的强度,同时,在这种情况下进行磨削时,实际法向后角α_n也变大了。