大导程法向直廓圆柱蜗杆数学建模和数控加工的分析与应用

摘要：法向直廓圆柱蜗杆是我厂所设计的成熟产品，加工难度大，通过数学建模，建立准确的法向直廓圆柱蜗杆的数学模型，利用数学建模得出的曲线方程，用宏程序编制数控加工程序，可以实现数控加工，破解加工难题，提高加工效率。

法向直廓圆柱蜗杆(ZN蜗杆)，是一种齿(或齿槽)轮廓在其分度圆处螺旋线的法向剖面内为直线轮廓的蜗杆，它的齿(或齿槽)轮廓在轴截面内呈向内微凹形曲线，常用于多头精密蜗杆传动。

法向直廓圆柱蜗杆在车床上的常规加工方法是车削时保证车刀刀刃平面与蜗杆分度圆处螺旋线的法向平面在同一平面内，而这一平面是轴平面旋转一个螺旋升角后的平面，且此角度一般不是整数，车刀刀刃平面调整此角度有一定困难。一般车刀刀刃工作平面是与轴平面平行且等高的(即刀刃工作平面应在基面内)，车刀刀刃工作平面的高低只能通过调整垫块来抬高或降低以保证其在基面内，但始终是与轴平面平行的；在实际操作中将车刀刀刃工作平面绕轴平面旋转一个角度是很困难的，不管是普通车床还是普通数控车床都不具有这一功能；采用手工方法来调整这一平面也是很困难的，而且根本无法保证定位精度，更不要说加工精度。这就给加工带来了很大的麻烦，使本厂引进的许多数控车床对此类零件也无能为力。

如果通过数学建模，建立准确的法向直廓圆柱蜗杆的数学模型，找出其隐藏的内在规律，生成任意齿在轴平面内的完整剖面，通过对剖面线上各特征点的位置控制，在数控车床上用任何与齿和底径都不干涉的刀具在轴平面完成此类零件的加工都是很容易实现的。以齿法向直廓圆柱蜗杆为例，齿法向直廓圆柱蜗杆的齿在轴平面的截面为向内微凹形曲线，也就是说如果我们通过数学模型算出轴截面上微凹形曲线，用微凹形曲线上的各点中取一些特征点，用逼近直线插补的加工方式也就可以在轴平面内来加工了，这个曲线可能复杂一点，但对于现在的数控机床来说，所配置的数控系统处理起来一点也不复杂，所加工出曲线的逼真度取决于所取点的疏密程度，所取点越疏，曲线逼真度越低，反之就越高。

我们在三维绘图软件的帮助下通过空间想象、认真分析，终于找出了法向直廓圆柱蜗杆从法向截面到轴截面之间的各尺寸参数之间的数学转换关系，并对用计算结果生成的轴截面与经三维绘图并转换成的二维轴截面进行比较，验证了以下公式的正确性 。

首先我们定义其它已知变量：α为法向齿廓角即法向齿廓与法向视图中心线的夹角、F为分度圆处齿宽、D为导程、A为齿根部直径、B为分度圆处直径值、C为齿顶部直径；并θ为定义螺旋升角，显然θ=Atan[D/(π*B)；然后定义自变量：X为水平面径向坐标(原点为蜗杆的轴线，取值范围为A/2至C/2)，定义未知变量：Z为轴向坐标(原点为齿廓轴截面的中心线与蜗杆轴线的交点)。那么，当α=0既矩形齿时，径向坐标为X处所对应的法向齿宽F_X则恒为F即：F_X=F，轴截面中Z与X的函数关系式则为：Z=±{[(Fcosθ)/2]+D/(2*π)*Asin[(Fsin&theta)/(2X)]}，“±”分别表示齿在轴截面中的左、右轮廓，这个式子可以直接编到加工程序中的宏程序中去，应用简单；利用VBA或LSP等语言可以轻松地在CAD中生成轴截面视图。当α>0就复杂多了，先设中间变量M、N，令

M=SinθTanα、N=F+2Tanα√，(B)²-(Fsinθ)²22则X处所对应的法向宽F_X为：F_X=2M(N-√(1+M²)X²-M²N²，(1+M²)sinθ轴截面中Z与X的函数关系式则为：Z=±{(F_XCosθ)/2+D/(2π)*Asin[(F_XSinθ)/(2X)]}，“±”分别表示齿在轴截面中的左、右轮廓。这组式子也可以直接编到加工程序中的宏程序中去，虽然很有点复杂，但因为是宏程序，可以做到一劳永逸，只需修改一下输入参数就可应用到各种法向直廓圆柱蜗杆的加工中去，也可以用VB、VC等高级语言生成曲线坐标数据表或直接生成这两段曲线的加工程序代码段；同样可以利用VBA或LSP等语言非常轻松地在CAD中生成轴截面视图。

法向直廓圆柱蜗杆的数学建模成功建立后，我们根据专业厂数控车床的性能参数及所配备数控系统对宏程序的支持及运算规则，把在数学建模阶段找出的轴截面内齿的曲线函数编到数控加工程序中，编制出了数控加工程序，程序编制出来后，我们多次在我厂数控车床上调试，我们在调试时在模拟界面中显示的蜗杆齿在轴截面内的曲线，红线表示在加工时快速定位时的刀具路径，左右侧红线各端点连接成的曲线即为加工完成后蜗杆齿的两侧面在轴截面内的曲线，这一模拟曲线同时也验证了我们在数学建模阶段得出的结论。经过多次调试后确定的数控程序如下：

N10 R0=10
N20 R1=106
N30 R2=R1/2
N40 R3=90
N50 R4=R3/2
N60 R5=224
N70 R6=ATAN2 (R5,3.14*R1)
N80 R7=20
N90 R8=-190
N100 R9=360-(R7-(R0*COS(R6)+ASIN(R0/R2*SIN(R6))/360*R5))/R5*360
N110 R10=R9+180
N120 T3D1
N130 M41
N140 M3S15
N150 G0X=R1+8 Z=R7
N2 IF R2N160 G0 Z=R7-(R0*COS(R6)+ASIN(R0/R2*SIN(R6))/360*R5)
N170 G0X=2*R2
N180 G33Z=R8 K=R5 SF=R9
N190 G0X=R1+8
N200 R2=R2-0.10
N210 GOTOB N2
N1 R2=R1/2
N3 IF R2N220 G0 Z=R7-(R0*COS(R6)+ASIN(R0/R2*SIN(R6))/360*R5)
N230 G0X=2*R2
N240 G33Z=R8 K=R5 SF=R10
N250 G0X=R1+8
N260 R2=R2-0.1
N270 GOTOB N3
N4 G0300
N280 T1D1
N290 R2=R1/2
N300 G0X=R1+8 Z=R7
N8 IF R2N310 G0 Z=R7+(R0*COS(R6)+ASIN(R0/R2*SIN(R6))/360*R5)
N320 G0X=2*R2
N330 G33Z=R8 K=R5 SF=R9
N340 G0X=R1+8
N350 R2=R2-0.1
N360 GOTOB N8
N5 R2=R1/2
N6 IF R2N370 G0 Z=R7+(R0*COS(R6)+ASIN(R0/R2*SIN(R6))/360*R5)
N380 G0X=2*R2
N390 G33Z=R8 K=R5 SF=R10
N400 G0X=R1+8
N410 R2=R2-0.1
N420 GOTOB N6
N7 M9
N430 G0300
N440 Z20
N450 M30

程序编出来后，我们还面临着加工时刀具起刀点定位、工件装夹定位等种种难题，另外因为这种蜗杆的导程特别大，如果转速设定太高加工时的进给速度就会很大，超过机床允许的最大进给速度，机床会在这种超常规螺纹加工过程中的升速段和降速段可能会因不能满足而出问题，另外刀具承受不了这样的进给速度。综合以上原因，在程序中我们根据机床允许的转速范围，确定加工时以低档位15转的转速加工。转速确定了之后，所需刀具又成了加工的拦路虎：如果要用机夹可转位车刀加工的话，又面临着目前专业厂应用的机夹可转位刀具全部是涂层硬质合金的刀片，这种材质的刀片要求线速度一般都要一百多米，我们在程序中设定的十五转转速对应的线速度还不到五米，如果强行用这种刀具加工的话，刀具在这种强烈冲击下刀刃会一下子崩掉的。在没有合适刀具的情况下，我们用两根铁丝模拟刀具的加工，观察刀具路径，实际情况证明了我们是正确的。

如果有合适刀具的话，我们的这一成果可以马上实际应用到生产中。我们所做的这一系列工作已经为接下来的数控加工做好了充分的技术准备，也进行了可行性分析验证，使法向直廓圆柱蜗杆的数控加工的实现完全成为可能，因为我厂此类产品为成熟设计，基本上每台机组都有这种蜗杆，加工量非常大，加工难度大，操作者劳动强度大，尤其我厂这种法向直廓圆柱蜗杆大都是法向齿廓与法线的夹角为零的矩形齿，把数学建模应用在数控加工中非常简单，所以这一课题的成功攻克意义非常重大，也可为其他有类似法向直廓圆柱蜗杆产品加工的厂家提供借鉴。