摘要:等螺旋角刀具的容屑槽分布在一条空间等螺旋角圆锥螺旋线上， 在数控机床上铣槽和刃磨可以大大提高精度及效率。本文提出了一种加工此类曲线的实时插补算法，这种 方法计算简单、结果精确，满足数控加工的需要

1 引言

等螺旋角锥形刀具大量用于生产中，如锥度铣刀、硬质合金旋转锉等。此类刀具的切削刃常由等螺旋角圆锥螺旋线形成，这样在刀具切削刃各点上能够获得合理的几何角度。等螺旋角刀具具有切削平稳，被加工表面粗糙度一致、生产率高、刀具寿命长等一系列优点。一般的等导程刀具螺旋槽的开槽及刃口的磨削可以在普通机床上实现，但等螺旋角锥形刀具具有其特殊性，一般的方法是在专用机床上配置凸轮或其它机构进行加工。但当刀具品种、规格不同、加工参数改变，需要配置不同的凸轮，非常繁琐。最好的方法是在数控机床上加工，当刀具的品种规格改变时，仅需改变数控加工程序中某些参数即可实现。由于等螺旋角刀具其槽形在圆锥上展开之后是一条对数螺旋线，在一般的数控系统上无法实现其实时插补，本文提出了此种曲线的时间分割插补方法，这种方法输入参数少，计算简单，结果也足够精确，现在将其插补原理、方法及流程介绍如下。

2 插补原理

时间分割法是现代数控机床上广泛使用的一种插补算法，特别适用于以直流或交流伺服电动机为驱动件的闭环数控系统中，其插补计算是根据系统设定的插补周期及进给速度，以确定每步所走的距离，再分别算出单元时间内各轴的进给量。

设有一段圆锥螺旋线，其起点为P₀，终点为P_i，其上，刀具现行的位置P_i(x_i，y_i，z_i)为已知，要计算出下一个插补点P_i+1(x_i+1，y_i+1，z_i+1)的位置。

插补计算的目的，就是要算出一个插补周期内，刀具相对于工件在X轴、Y轴、A轴三个方向的进给增量Δx、Δy、Δz，这样得到的合成轨迹)就是插补进给量，次一个插补点由此算出。而后重复上述过程，计算一段，执行加工一段，最后达到终点。

等螺旋角圆锥螺旋线，由机床沿X轴、Y轴的移动及绕A轴的转动复合而成。其参数方程可以表示为 x=ce^bδy=re^bδ=rxca=δ(1)式中：δ——角度参数，加工起始点δ=0°

b——常数，b=tan[(Ø/2)/tanω]

c——常数，c=rco(tØ/2)

Ø——锥角

ω——螺旋角

r——螺旋线起点半径

当刀具由P_i点运动到P_i+1点时，各轴的坐标增量可按以下方式求得 dx=cbe^bδ=bxdδd²x=cb²e^bδ=b²xdδ²d³x=b³e^bδ=b³xdδ³

根据泰勒级数展开公式得 Δx_i≈x_ibΔδ_i+1x_ib²Δδ²_i+1x_ib³Δδ³_i26(2)

实际上取展开式的前两项就足够精确了，根据幂级数的余项公式 R_n(x)≈f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-x₀)⁽ⁿ⁺¹⁾(n+1)!

ξ在x与x₀之间，根据式(2)，如果只取前二项，则 R_n(δ)=b³ξΔδ³_i3!

因为Δδ_i很小，Δδ³_i更小，计算出的插补点都落在理论曲线上，误差非常小。

如果取前二项，式(2)改写为 Δx_i=x_i(bΔδ_i+1b²Δδ²_i)2Δy_i=rΔx_ic(3)

由此可得下一个插补点 x_i+1=x_i+Δx_iy_i+1=y_i+Δy_ia_i+1=a_i+Δδ_i(4)

现在的关键是要求出A轴的进给增量是多少，才能根据式(3)、式(4)算出下一插补点。首先根据插补周期Δt(ms)和机床进给速度m/min，求出插补进给量f(mm)，它们之间的关系式为 f=FΔt60×1000(5)

而后求出插补进给量与A轴增量之间的关系。

将圆锥沿其母线展开，由P_i点到P_i+1点之插补进给量f就是该两点之间螺旋线的长度，且有 f=√(pΔτ)²+Δp²

可知 p=xcos(Ø/2)Δp=Δxcos(Ø/2)Δx=bxΔδ
τ=sin(Ø/2)δ
Δτ=sin(Ø/2)Δδ代入上式得 f=√[xsin(Ø/2)Δδ]²+[Δx]²cos(Ø/2)cos(Ø/2)整理后得 f=xΔδ√tan²(Ø/2)+sec²(Ø/2)b²即 Δδ_i=fx_i√tan²(Ø/2)+sec²(Ø/2)b²令 k=√tan²(Ø/2)+sec²(Ø/2)b²则 Δδ_i=fx_ik(6)

归纳以上插补方法，可得到插补流程。

3 插补实例

设有一段等螺旋角圆锥螺旋线，其小端半径r=4mm(即Y=4)，初始转角a₀=0°，终点a_e=45°，ω=40°，Ø=20°，求出各插补点如下表(节选)。下表中x、y为通过插补运算得到的坐标点，而x、y为根据式(1)计算的理论值，旋转坐标a值是假定插补进给量为f=0.1mm计算得出的。从表中可看出，插补点坐标与理论计算值比较，精确度已经达到了小数点后面的第4位，已经足够精确了。计算各轴插补进给增量的式(3)、式(6)也非常简单。以上插补方法完全可用于加工等螺旋角锥度刀具的机床数控系统中，其软件编程也很简单。 表 等螺旋角圆锥螺旋线插补结果与理论计算的比较x(mm)y(mm)x(mm)y(mm)a(°)22.6895422.68954022.75984.012422.75984.01241.005122.83014.024822.83014.02482.007122.90044.037222.90044.03723.006122.97064.049622.97064.04964.0019……………25.5714.50825.5714.50838.85225.64134.520425.64134.520439.743825.71154.532825.71154.532840.6333