主要介绍了有限元逆算法的基本理论以及近年来逆算法在板件设计以及成形形模拟中的应用，并且指出了在成形模拟应用中，逆算法有待改善的方面。
板料成形是一种生产效率高、成形质量好的金属加工方法它被广泛地应用于航空航天、汽车、轻工业等领域。近十年来随着数值模拟技术的迅速发展，板料成形加工摆脱了过去纯粹依靠经验直觉进行钣金设计和模具设计的模式，通过对钣金成形过程进行数值模拟，设计人员可以具体地分析各种工艺参数对钣金成形过程的影响，从而设计出合理的钣金件和工艺方案近年来，数值模拟领域出现一种新的研究方向，即逆向模拟研究。传统正向模拟技术主要模拟物体在给定力学条件下的变形过程及变形结果，而逆向模拟主要研究物体在什么样的力学条件下才能得到给定的变形结果。
1 钣金成形中有限元逆算法的基本理论
上世纪 80 年代初期，欧洲和美国就有部分学者展开有限元逆算法研究，直到最近几年才出现了工业实用的逆算法软件逆算法在钣金成形中的应用主要是从求钣金零件的毛料展开问题开始的，现在已逐步应用于钣金件设计和成型工艺优化设计等方面。在用逆算法求解零件的毛料展开问题中，已知的是产品的最终构形和毛料的初始面、初始厚度；而零件最终构形上厚度分布和毛料初始轮廓是未知的，所以整个有限元模型必须建立在板料的最终构形上。毛料展开问题的实质就是，求出板料最终构形上每个节点在毛料平面上的相应位置，并使节点位移场能保证板料最终构形体的平衡。
1.1 应变几何方程描述
在板料成形加工中，板料要经历较大的弹性、塑性变形，所以采用左 Cauchy-Green 应变张量的逆来描述应变几何方程。
（1）式中B为左Cauchy-Green 应变张量，（2）式中F是变形梯度张量。板料上各点的面内主伸长λ1、λ2可由该点的 B-1的特征值给出。
（3）式中的θ是面内主伸长λ2与最终构形的局部坐标系x轴之间的夹角，B11、B22、B12是 B-1的分量。板料上各点的厚向主伸长λ3 可由（4）式得到，它是根据塑性变形中体积不变的假设求得的。对数应变εx、εy、εxy可以由（5）式求得。
1.2应力应变本构方程描述
在用逆算法进行变形求解时，其一个基本假设是材料的每个物质元都是按简单加载变形的，所以逆算法中的本构方程是采用形变理论来描述的，它忽略了变形中间构形的影响。如果考虑板料的面内各项异性，应力应变本构方程可如下描述：
（6）式中｛σ｝为应力矩阵，｛ε｝为应变矩阵，Es 为等效应力等效应变的割线模量，即σ/ε，矩阵［P］包含了板料的各向异性参数
1.3 有限元控制方程及其求解
在逆算法中，另外一个假设模具对毛料的接触作用是通过凸模和凹模以及压边圈对毛料的法向力和切向摩擦力来模拟的。在凸模作用处，板料处于法向力和切向摩擦力的作用下，在压边圈处上下表面的法向作用力相互平衡，所以只考虑其切向摩擦力的作用。在工件的最终构形上建立虚功方程如下：
（7）式中 <u>和 <f>分别为单元内任意一点的虚位移和虚应变｛σ｝和｛f｝分别为柯西应力和外力。 采用三角膜单元对最终构形进行离散，可得到如下单元虚功方程：
分别为节点虚位移、节点内力矢量和节点外力矢量，要使式（8）对于任意虚位移都能成立，必有
对所有的单元应用（9）式，并把它们组装成整体平衡方程（10），并用Newton-Raphson迭代法进行求解便可的节点位移。
2 有限元逆算法钣金成形中的应用
从以上基本理论中可以看出，逆算法采用了形变理论来描述本构方程，忽略了变形过程，并且把整个模具对板料的接触过程简化为法向作用力和切向摩擦力。这两种简化使得逆算法相对于有限元增量法损失了一定的精度，但这两种简化使得逆算法的计算时间大幅度减少，提高了计算效率。由于逆算法计算速度快，它可以和CAD 软件结合起来应用于钣金零件的早期设计阶段来估算设计件的厚度分布以及应变应力分布，从而评估设计件的力学性能和工艺性能。
INECO的设计人员曾将逆算法应用于INECO 汽车车身后墙板的设计，设计人员对后墙板设计件进行工艺性能分析时，发现零件冲压成形后在零件边缘部位出现了材料重叠现象，通过改进后墙板形状后避免了这种成形缺陷。
逆算法也广泛地应用于钣金零件的工艺设计阶段。在工艺设计阶段，主要的任务是工艺方案的选择和比较，以及工艺参数的优化。特别是工艺参数的优化，如果采用增量法来进行，将耗费大量的计算时间，提高设计成本。而采用逆算法来计算一个包含上千个元素有限元模型只需几十秒种，如果进一步采用四边形壳单元并考虑弯曲效应，逆算法的计算精度相对于增量法可提高到90%左右。
李顺平等曾把逆算法用于轴对称拉深件的工艺方案和工艺参数的优化，使得如图1所示拉深件的工步从原先的的十步减为六步。采用新的工艺方案后，拉深件的破裂危险区的安全裕度比旧方案提高了5%左右，使其工件的工艺性能也得到了较大的改善。
在工艺设计阶段，逆算法也较多地应用于拉延筋和压边面的设计。雷诺汽车公司的设计人员在汽车挡板的工艺设计中，用逆算法成功地设计出了挡板冲压件的拉延筋。在挡板的冲压成形中，主要的成形困难为成形深度较浅，成形件未经过充分变形，所以回弹较大。解决该问题的有效手段便是设置拉延筋，让材料经受较大的塑性变形，可以显著地减少回弹量。图2便是未设置拉延筋的挡板成形后的应变分布图，从中可以看出圈定区的材料未经过充分变形，所以回弹较大。设计人员采用逆算法快速地对拉延筋设置的几种工艺方案的进行比较，采用其中最优的一种方案后得到了如图3所示的应变分布均匀，回弹较小的成形件。
3 钣金成形中逆算法应用的发展方向
由于为了获得较快的计算速度，逆算法对有限元模型做了许多简化。如在模拟冲压成形中，逆算法忽略了压边圈夹紧毛料的过程。这样简化，因为考虑到在夹紧过程中板料的变形相对于整个成形过程较小，所以忽略了这种夹紧变形；但有时压边面的几何曲率较大，忽略这种变形将导致较大的模拟误差；所以在以后的逆算法中可以考虑夹紧变形，从而提高模拟精度。在钣金成形中，钣金件特别是形状比较复杂的钣金件的多工步成形加工是比较普遍的。可以把逆算法应用于多工步中工艺参数的优化设计和中间模具几何形状的优化设计。
4 结束语
有限元逆算法是一种高效的数值模拟工具，它相对于增量有限元模拟方法，更能有效地应用到钣金件产品的早期设计阶段以及工艺参数的优化设计中。虽然其模拟精度相对于增量法低了一些，但其模拟结果在工程分析中是可以接受的，而且随着算法的不断完善，其模拟精度还可以得到进一步的提高。
