基于单片机的步进电机的最优化控制

    介绍采用闭环步进电机最短时间最优控制的一种新方法，提出步进电动机最优控制的数学模型和最优控制策略，给出采用单片机实现最优控制的硬件和软件技术，经工业控制系统应用表明，提出的最优控制具有良好的控制性能。

    1、引言

    步进电机是一种将电脉冲信号转换成相应的角位移(或线位移)的机电元件。采用步进电机构成的控制系统具有价格低、控制简单、维护容易等优点，特别是随着微型计算机和微电子技术的发展，使步进电机得到更加广泛的应用、同时也对步进电机的运行性能提出了更高的要求，所以合理选择步进电机的控制方法，对于充分发挥步进电机的工作性能起到了积极的作用。为了获得步进电机的最优控制，并使控制系统具有低成本，本文利用最优控制理论研究并介绍了步进电机控制电压的最优切换时间以及采用单片机执行的控制策略。
 
    2、步进电机最优控制问题的数学模型

    当步进电机及其驱动电源和负载都已确定时，电机启动加速和减速停止过程的长短仅仅与控制脉冲序列有关。若能找到一组最优控制脉冲序列，使得启动加速和减速停止的过程最短，就能实现对步进电机的最优控制。

    在忽略一些次要因素的情况下，步进电机转矩的平衡方程可以简化为：

    式中  ——  步进电机输出转矩最大值 
          ——  总负载转矩
        J  ——  总转动惯量 
        θ  ——  步进电机转轴位置 
        f(θ)  ——  对应于θ的静态转矩分布
 
    设步进电机转一个齿需要N步，u表示每步的驱动脉冲(例如，三相步进电机，采用6拍运行方式，则N=6，u=0，1，2，3，4，5，对应于控制电压为A、AB、B、BC、C、CA相)，因为总负载转矩分布曲线形状不随u值变化而变化，因而，式(1)可描述为：

    设   

   则得：        (3)

    步进电机最短时间最优控制归结为在状态方程(3)、(4)条件下，求出最优控制序列u＝(0，1，2，3，4，5)，使步进电机从初始状态到终端状态，性能指标亦即目标函数为最小，其中T为终端时间。

    3、最优控制策略

    根据状态(3)、(4)，构造Hamilton函数为：

    由极大值原理，应控制u(i)，使为最小，

    令    (6)

    式中u(i)＝0，1，2，3，4，5；i=0，1，2，3，4，5。

    不失一般性，f(θ)可表示为θ的正弦函数：

    极大值原理的伴随方程可表示为： 

   (7) 

     (8)

    由式(7)、(8)，可证得λ₂≠0，因为λ₂=0，则 ( C1为常数)；

    式(6)两边除以λ₂得： 

    方程(9)的右边为步进电机转矩分布，为使h(i)最小，i=0，1，2，3，4，5，若λ₂＞0，h(i)/ λ₂应取最小值，即取最小的转矩分布，若λ＜0，h(i)/ λ₂应取最大值，即取最大的转矩分布。虽然λ₂很难用极大值原理解出，但是，因为这是一个实际问题，最优解必定存在，明显的物理意义表明，为使转子加速，应使转矩分布尽可能大，为使转子减速，应使转矩分布尽可能小。

    设步进电机为三相步进电机，控制方式采用六拍，由方程(9)，可得图1所示在h(i)/ λ₂和x₁之间的曲线。根据以上分析，最优控制问题归结为在图1所示转矩分布中，如何切换控制电压u(i) ，使平均转矩在2π角度内，加速时，转矩分布最大，减速时，转矩分布最小。

图1  h/λ₂ 和x₁ 的关系

    如果三相步进电机采用六拍控制电压，在图1所示的a、b、c、d、e、f交点进行切换控制电压，可获得最大的平均转矩。

图2  转矩和转角的关系曲线

    因为采用六拍控制方式，在2π电角度内，每种运行方式都是60°，因此，只需说明在60°范围内采用交点(如a，b点)切换控制电压大于在其他点切换控制电压的转矩曲线分布。也即只要说明图2中水平线围成的面积大于垂直线围成的面积。

    以上讨论的结果对于任意相步电机也是成立的，设步进电机在2π电角度内，采用N拍控制电压，则有

    所以，具有以上相同的结论。

    4、实现技术

    步进电机最短时间最优控制可分为加速起动、最高速运行、减速和停车三个阶段实现。

    4.1  加速起动阶段最优控制

    根据以上讨论，在图1所示时间序列a，b，c，d，e，f的交点上切换控制电压，步进电机将获得最大的平均输出转矩，即步进电机能以最大的加速度起动。起动的电压切换频率与J和Ts有关，J和Ts越大，切换频率越低，J和Ts越小，切换频率越高，这是因为步进电机刚起动时，转速等于零或较小，在起动过程中，步进电机的输出转矩除克服Ts，还要克服惯性转矩。若起动脉冲频率较高，转子的速度将跟不上起动脉冲频率，经过几个起动脉冲后，转子的位置离平衡的距离越来越远，最后导致转子位置落到步进电机稳定区以外，使步进电机出现丢步或振荡现象，从而，电机不能起动。图3定性地表明了起动时序列T_i={T₁，T₂，T₃，…，T_n}与步进电机转轴位移的分布关系，在T_s和J一定的条件下，可通过实验测出时间序列T_i。

    此实验装置如图4所示，在步进电机轴上安装光电编码器，光电编码器的孔数是步进电机转一圈所需拍数的整数倍。设步进电机停在图3中的m点处，单片机给步进电机A相一个起动脉冲，然后单片机开始计时，在运转 60°电角度时，光电编码器输出一个脉冲给单片机，此信号中断单片机，单片机存贮已计时的时间，送到RAM中，并使控制电压切换到A、B相，如此不断重复执行，直到步进电机达到最高运行频率。

图3  起动时间序列关系曲线

    4.2  最高速运行阶段最优控制

    若步进电机总共需运行的拍数为N₁，起动所需的拍数为N₂，停车所需运行的拍数为N₃，则步进电机在最高速下运行的拍数为N₄＝N₁-N₂-N₃。最高运行频率与负载阻转矩和步进电机本身特性有关，可根据现场调试确定。

    4.3  减速、停车阶段最优控制

    首先降低步进电机的运转频率，然后在a、b、c、d、e、f处切换控制电压，使步进电机迅速停车。

    4.4  步进电机控制系统设计

    1.  硬件设计：

    本系统主要采用8098单片机高速输出口HSO及软件定时器按一定规律输出脉冲控制步进电机的运行频率，同时还采用了EPROM(27128)、RAM(6264)、键盘和显示接口电路(8279)、显示器和键盘、驱动电路、光电编码器等器件。步进电机控制器如图4所示。

图4  步进电机控制器的硬件结构图

    8098单片机具有计数器、高速输入、输出端口和串行端口，采用它构成步进电机控制器，简化了控制结构，从而使控制系统成本降低，因此，可在工业控制系统中推广使用。

    2.  软件设计控制系统软件主要由监控子程序、主控制程序、中断程序等组成。监控子程序用于输入数据和控制参数；主控制程序用于以最优控制策略控制步进电机起动、运行和停止；

    中断程序用于切换步进电机的控制电压。最优控制主程序框图如图5所示。

图5  步进电机最优控制主程序框图

    5、结束语

    实验结果表明，以J为目标函数获得的最优控制脉冲序列能使步进电机以最短的时间启动加速到稳态转速和由稳态转速减速到零，其加、减速过程比过去认为是最优规律的指数曲线来得快，并且可以保证按照系统确定的最优控制脉冲序列加速不会丢步、减速不会越步。

    本文提出的方法不用推导步进电机复杂的非线性数学模型，而由系统通过检测目标函数，直接确定与目标函数极值相对应的最优控制脉冲序列，进而实现最优控制。当负载改变时，也只要重新执行一遍程序就可获得与新负载相对应的最优脉冲序列。因此本方法较为简单、方便。对于生产现场工业微机控制系统中的步进电机，只需要在现场系统中增加部分硬件和软件就可以由现场系统自行确定电机的最优脉冲序列，而不必将电机与负载移入实验室进行试验，整个方法比较实用、灵活。步进电机最优控制显著提高了工业控制系统的生产效率，因而在工业控制中得到了广泛的应用。