多点法圆度及轴系误差分离方法的若干问题

　　摘　要　目的　论述多测头圆度及轴系测量误差分离方法的一般原理、测量误差的传播规律以及测圆精度与测头数目的关系。方法　在满足误差分离条件的前提下，增加测头和引入冗余测量方程以减小测头的读数及角位置误差对测圆精度的影响。通过误差分析及实验考察了测圆精度与测头数目的关系。结果与结论　3点法不能进一步提高测圆精度；引入冗余测量信息能有效减小测头读数及角位置误差对测圆精度的影响，4点法测圆精度有显著改善；多于4个测头时，测圆精度不再随之有明显提高。
　　关键词　多点法； 测圆精度； 误差分离
　　分类号　TG806

Some Problems of Error Separation Method in
Roundness and Spindle Error Motion
Measurements with Multiprobe

Zhang Yuhua
(Department of Optical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing　100081)
Wang Xiaolin
(School of Mechanical Engineering, Shandong Polytechnic University, Jinan　250061)
Zhang Guoxiong Li Zhen
(College of Precision Instrument and Opto-Electronics Engineering, Tianjin University, Tianjin　300072)

　　Abstract　Aim　To discuss the fundamental principle of error separation method for roundness and spindle error motion measurements with multiprobe and the propagation patterns of the measurement errors for all harmonics of roundness as well as the relation between roundness measurement accuracy and the number of the probes. Methods Under the prerequisite for error separation, extra probes were used to introduce redundant measurement equations by which the measurement errors caused by the reading errors and misalignments of the probes were effectively decreased for all the harmonics of roundness. The relation between the number of the probes and roundness measurement accuracy was analyzed according to error theory and investigated by experiments. Results and Conclusion Three-point method can not improve roundness measurement accuracy further. The measurement error caused by the reading errors and the misalignments of the probes can be decreased effectively by using more than three probes to introduce redundant measurement information, the accuracy for roundness measured by four-point method is improved significantly. However, the roundness measurement accuracy can only improve to a very limited extent by using more than four probes in comparison with that of four-point method.
　　Key words　multi-point method; accuracy for roundness measurement; error separation

　　高等学校博士学科点专项科研基金资助课题圆度及轴系运动误差测量的3个变量：工件的圆度误差和轴系在x,y两个方向的运动误差，采用3个测头获得的3个独立测量方程，就可同时测得圆度及轴系运动误差^［1］，这是圆度及轴系测量误差分离方法中的3点法思想^［1］。但3点法测得的圆度有时有较大的形状失真，为解决这一问题，前人倾注了很大精力^［2～5］。作者提出了4点法^［6］，即采用4个测头，得到4个测量方程，不仅实现了圆度及轴系测量误差的分离，而且能利用其中冗余的测量信息有效抑制测头读数及定位误差的影响，从而使圆度测量精度大大提高。由4点法思想可以推广出5点法、6点法乃至n点法。

1　误差分离方法及测量误差分析

1.1　误差分离方法

　　在工件圆周上布置n个测头P_i(i=1～n)，各测头与y轴的夹角分别为φ_i(φ₁=0)(如图1)。工件圆度为r(θ)，轴系径向运动误差的x,y向分量分别为x(θ)，y(θ)，各测头的输出为

s_i(θ)=R_i-r(θ-φ_i)-y(θ)cosφ_i+x(θ)sinφ_i，　　　(1)

图1　多点法原理

式中　R_i为测头P_i的零起读数。构造线性方程

　　将r(θ)展开为Fourier级数，有

式中　A_k，B_k分别为r(θ)各次谐波的Fourier系数。
　　设

则

为分离x(θ),y(θ)，使λ_x1=λ_y1=0，即k=1时式(4)为零。
将s(θ)展为Fourier级数，有

式中　F_k,G_k分别为s(θ)各次谐波的Fourier系数，由式(5)(6)求得

由A_k,B_k可求得圆度。轴系径向运动误差x(θ)，y(θ)可由式(1)按最小二乘法求出。

1.2　测量误差分析

　　测量过程中主要有两个误差：①测头读数误差，它影响F_k,G_k；②测头角位置误差，它影响λ_xk,λ_yk。对式(7)微分得

其中读数误差的影响占主导地位。设各测头的方差均为σ²，通过误差分析得到由测头读数误差所引入的圆度的k次Fourier系数A_k,B_k的测量误差的方差为

σ²(A_k)=σ²(B_k)=2q²_kσ²，　　　(9)

式中　为误差传递因数，表示测头读数误差对圆度测量精度的影响。
　　误差分析还表明，测头角位置误差对测圆精度的影响正比于q_k。因此，为降低测头读数误差及测头角位置误差对测量结果的影响，应使q_k尽量小。

2　多点法的特点

　　3点法中的q_k只与谐波级次k和测头角位置{φ_i}有关。此时为确定最佳的测头角位置，可对于给定的谐波上限k_m求{φ_i}，使所有各次谐波的q_k中的最大值为最小。{φ_i}确定后，各次谐波就得到相同的合成系数{a_k}，进而确定A_k,B_k。
　　当n＞3时，有(n-3)个冗余自由度，有无数组{a_i}满足该方程组。这时q_k不仅与k,φ_i有关，而且与｛a_i｝中的冗余变量有关。即使{φ_i}已定，仍有(n-3)个自由度，这样，可首先利用这些冗余自由度将每次谐波的误差传递因数极小化，然后确定一组最优角位置{φ_i}，使所有各次谐波的q_k的极小值q_kmin中的最大值为最小。即在最佳角位置下，每次谐波分别确定一组最优合成系数{a_ik}构造式(2)，从而使各次谐波的误差传递因数进一步减小。

3　测头数目与测量精度的关系

3.1　计算结果分析

　　① 同一种方法，当谐波上限k_m不同时，所对应各次谐波的q_k不同，随着k_m的增大，目标函数的最优值也变大，优化得到的最佳角位置也不同，如图2所示；

图2　多点法的误差传递因数与谐波级的关系

　　② 用3点法经优化后，各次谐波的测量误差仍然较大(见图2a,2e)；4点法与3点法相比，目标函数值及各次谐波的误差传递因数大幅度降低(见图2b,2e及2f)；
　　③ 随着测头数目的增多，取相同的谐波上限时，目标函数值及各次谐波的误差传递因数进一步减小，但减小幅度趋缓。4点法相对3点法，各次谐波的最大测量误差下降46%～67%；5点法相对4点法，下降幅度为14%～29%；6点法相对5点法，下降幅度降为8%～26%。由于测头灵敏度及其它性能不一致等因素的影响，可以认为4个测头是最佳选择。

3.2　实测结果比较

　　在相同的测量条件下，作者分别采用传统3点法(测头角位置未按本文方法优化)、优化3点法、4点法、5点法及6点法进行了测量，并与圆度仪测量的结果相比较。结果表明，随着测头数目的增加，圆度测量结果的精度提高，测量不确定性下降，结果见下表。

6种方法测量结果对比表

测量方法圆度各次谐波最大测量误差圆周各点测量误差均值/μm改善/%标准偏差/μm改善/%最大值/μm改善/%最大值/μm改善/%圆度仪1.253　0.050　　　　　传统3点法1.292　0.035　0.072　0.250　优化3点法1.282260.026260.024670.160364点法1.234510.017510.014810.060765点法1.239640.015570.009870.061756点法1.238620.014600.015800.05678

　　表中“改善”代表各种方法相对传统3点法的改善幅度

4　结　论

　　3点法不能进一步提高测量精度，这是由于3点法原理上的局限性决定的。4点法相对于3点法增加一个测头，圆度测量精度有明显改善。在4点法基础上增加测头，测量精度不再随之有明显改善。