三通薄壁圆柱管展开的自动放样设计

摘　要：应用解析几何与投影几何理论分析了三通薄壁圆柱管交线的特点，建立了交线的函数式。并用Auto-lisp语言设计出绘制柱管展开图的实用程序。将其应用于数控机床上，可快捷而精确地解决钣金加工中各种薄壁三通圆柱管的自动下料问题。
关键词：三通圆柱管　展开

Lofting Design of Tee-type Thin Cylindrical Tubes

Sun Xinhua

Abstract： On the basis of analytic geometry and projected geometry，the characteristics of intersecting lines of tee-type thin cylindrical tubes are analyzed，and the functional equation is established．An Auto-lisp program is also developed for drawing the development view of tee-type tubes．This method can solve the fast and precise automatic blanking problem in machining thin plates with NC machines．
Keywords： tee-type cylindrical tube development

一、引　言

　　在矿山、轻工、运输和土建等行业中，有许多用各种金属薄板制成的管道设备。在管道的岔路设备中，三通圆柱管应用较为普遍。本文根据解析几何与投影几何理论，用解析方法建立了管面交线的函数式及展开方法，并用Auto-lisp语言设计出了绘制三通圆柱管展开图的实用程序。

二、管面及交线方程的建立

　　1．参数设置及坐标系的建立
　　如图1所示，假定管壁厚度为零，三管长度均为L，半径为R，三轴线共正平面Q，共交于点O，三轴线间夹角分别为α、β和γ（α、β和γ均大于0，小于π；α＋β＋γ＝2π）。
　　建立三个坐标系，其中：O_Ⅰ，O_Ⅱ，O_Ⅲ共于O点；Z_Ⅰ，Z_Ⅱ，Z_Ⅲ共于Z轴。

图1　三通薄壁圆柱管投影图

　　2．交线特点
　　根据解析几何及投影几何理论，两等直径圆柱面轴线相交时，交线为平面曲线——椭圆线，椭圆的短轴为端面圆直径。当二管长度相等时，圆柱面对称于交线所在的平面，两展开图全等。在三圆柱管等直径、三轴线共平面、共交点的情况下，三柱面交线的分界点在过三轴线交点的正垂直径的两端点上，可视为半圆柱面两两相交。为此，将三圆柱面按半圆柱面分片编号，如：管Ⅰ可划分为Ⅰ1和Ⅰ2两个半圆柱面；…。Ⅰ2与Ⅱ1相交得交线①；Ⅱ2与Ⅲ1相交得交线②；Ⅲ2与Ⅰ1相交得交线③。因此，只要求出其中一对半圆柱面交线的函数式，替换相应的轴间角参数，便可得出其它交线的函数式。
　　3．管面Ⅰ与管面Ⅱ的交线方程
　　管面Ⅰ方程为

　　管面Ⅱ方程为

y²_Ⅱ＋z²_Ⅱ＝　　　（2）

联立（1）、（2）两式，可得二柱管的交线①方程。
　　为了便于展开，设_Ⅰ、_Ⅱ分别表示管Ⅰ和管Ⅱ面上素线的位置角，则得以下参数方程式：
　　管面Ⅰ方程为

　　管面Ⅱ方程为

　　两坐标系之间点的坐标变换关系为

　　4．交线①上点的x_Ⅰ轴向坐标函数
　　将（2）式变换为

因在Ⅱ1范围内y_Ⅱ为负，所以根号前取负号。将（6）式代入（7）式，整理后得

式中，因0＜α＜π，则sinα≠0；以（3）式替代（1）式并与（8）式联立求解得

x_Ⅰ＝Rcos_Ⅰ（cosα＋ctgα）　　（9）

其中，因在范围内cos_Ⅰ为正，则。

三、交线上选点的坐标及柱管展开图

　　已知单个圆柱管的展开图为矩形，矩形的一对边为柱管长度，另一对边为端面圆周长度。求三通薄壁圆柱管展开图的关键是求交线的展开图。以横轴表示交线上点所对应的端面圆弧长坐标s，竖轴表示交线上点所对应的轴向坐标x，由s＝R可知为线性函数；由（9）式函数关系可知，其中R（cosα＋ctgα）为常量，x＝f（）为余弦函数曲线，因此x＝f（s／R）亦为余弦函数曲线。曲线用计算机绘制，即先按曲线函数选取足够多的点（本文称这些点为“选点”），用短直线段把这些选点顺次连成折线，相邻两点间的距离不断缩小，致使折线看上去近似于实际曲线。为此，将每片半圆柱面的中心角分为N等份（N为正整数），N越大，折线越近似于实际曲线。
　　1．交线上选点的坐标计算
　　（1）管Ⅰ2上选点的坐标计算
　　将范围分成N等份，步长角Δ_Ⅰ＝π／N，选点对应的素线位置角_Ⅰi及端面圆弧长坐标s_Ⅰi可通过下式求得：

将_Ⅰi代入（9）式，可得求选点轴向坐标的函数式为

x_Ⅰi＝Rcos_Ⅰi（cscα＋ctgα）　　（i＝0，1，2，…，N）　　（11）

　　（2）管Ⅱ2、Ⅲ2上选点的坐标计算
　　同理可得

　　分别以_Ⅱi和β替代（11）式中的_Ⅰi和α，可得求x_Ⅱi值的函数式（13）（函数式省略）。
　　分别以_Ⅲi和γ替代（11）式中的_Ⅰi和α，可得求x_Ⅲi值的函数式（14）（函数式省略）。
　　2．柱管展开图的绘制
　　根据（10）～（14）式计算出一系列的s_i和x_i值后定点，可分别绘出Ⅰ2、Ⅱ2、Ⅲ2三个半圆柱的展开图。由于对称性，展开图Ⅱ1与Ⅰ2全等，Ⅲ1与Ⅱ2全等，Ⅰ1与Ⅲ2全等。因此，只要求出Ⅰ2、Ⅱ2、Ⅲ2三个展开图，再两两相拼，便可得三柱管的全部展开图。

四、程序设计

　　利用Auto-lisp语言强大的表处理功能和绘图功能，可快捷地进行点的坐标计算和展开图的绘制。
　　（1）程序框图（见图2）

图2　程序框图

　　其中：AJ、BJ分别为α、β角。
　　（2）展开图实例（见图3）

图3　三通薄壁圆柱管展开图实例

五、结束语

　　该软件应用于数控机床上，可快捷、精确地解决用各种金属薄板制造三通薄壁圆柱管道的下料问题，不仅可大大提高工效，而且可精确地定位裁剪，从而提高成型焊接质量，减少材料浪费，在生产实践中具有较高的应用价值。