| 摘要：介绍一种可精确计算渐开线花键拉刀倒角齿测量值的新算法，并编写了该算法的C 语言计算程序。 |
图1 渐开线花键齿形 |
图2 rA的精确计算 |
1 问题的提出
我厂生产的渐开线花键齿轮出口产品对齿轮倒角提出了严格要求，因此设计加工该齿轮用的渐开线花键拉刀时，必须对拉刀倒角测量值进行精确计算。 对于图1 所示的渐开线花键齿形，已知花键的模数m、齿数z、压力角a、小径ra、分度圆齿厚s、基圆半径rb、倒角长度a、倒角角度b等参数，对拉刀倒角测量值h(图1中的EO值)的原计算方法步骤如下：①ch=acotb；②rA=ra+ch；③分度圆齿槽宽w=pm-s；④倒角终止处齿槽宽wA=AB︵=2rA(w/mz+inva-invaA)，式中aA=arccos(rb/rA)；⑤wA对应弦长AB=2rAsin(180wA/2prA)；⑥CD=AB+2a；⑦d=arcsin(CD/2ra)；⑧dx=90°-b-d；⑨h=EO=racosdx。分析上述计算步骤可知，(3)～(9)理论上均正确。但由图1可知，rA并不等于ra+a，而是小于ra+a。因此，按rA=ra+a计算出的rA并非精确值，而是近似值，这就是该计算方法的不足之处。因此，必须采用经改进的新算法对rA及h进行精确求解。 2 rA的精确求解
建立如图2 所示坐标系，设点C(x0，y0)，A(xA，yA)。由图2 可知：xA=x0+a，yA=y0+acotb，故A点坐标为A(x0+a，y0+acotb)，因此有 | rA=[(x0+a)2+(y0+acotb)2]½ | (1) |
由于C点在花键小径上，故有 | x02+y02=ra2 | (2) |
由于A 点在渐开线上，故有 | q=tanaA-aA | (3) |
由图2可知 | aA=arccos{rb/[(x0+a)2+(y0+acotb)2]½} | (4) |
联立式(3)、式(4)，有 | q=tan(arccos{rb/[(x0+a)2+(y0+acotb)2]½})-arccos{rb/[(x0+a)2+(y0+acotb)2]½} | (5) |
由图2可知 |
| q= | 1 | EF︵ | -d |
| |
| 2 | rb |
(6) | 式中d=-arctan(x0+a)/(y0+acotb) 由于EF︵实质上就是基圆齿槽宽Wb，而Wb的计算公式为 | Wb=wcosa+mzcosainva | (7) |
因此，将式(7)代入式(6)可得 |
| q= | 1 | wcosa+mzcosainva | +arctan | x0+a |
| | |
| 2 | rb | y0+acotb |
(8) | 令式(5)=式(8)，可得 |
| q=tan(arccos{rb/[(x0+a)2+(y0+acotb)2]½})-arccos{rb/[(x0+a)2+(y0+acotb)2]½} |
| = | 1 | wcosa+mzcosainva | +arctan | x0+a |
| | |
| 2 | rb | y0+acotb |
(9) | 联立式(2)和式(9)，可得方程组 |
| x02+y02=ra2 |
|
| q=tan(arccos{rb/[(x0+a)2+(y0+acotb)2]½})-arccos{rb/[(x0+a)2+(y0+acotb)2]½} |
| = | 1 | wcosa+mzcosainva | +arctan | x0+a |
| | |
| 2 | rb | y0+acotb |
(10) | 在式(10)中，除x0，y0外，其它参数值均已知或可求出，因此理论上可通过该方程组求解x0，y0 (实际上x0，y0的求解计算非常繁琐，因此必须借助计算机进行编程计算)，然后根据式(1)求出rA的精确解。将rA的精确解代入第一节介绍的计算步骤，即可求得精确的拉刀倒角测量值h。
图3 试值法求解方程组流程图 |
3 方程组的试值法求解
在式(10)中，x0，y0既存在于根号下，又存在于三角函数、反三角函数中，因此用常规算法很难解出。为此可采用试值法求解。 将式(10)中x02+y02=ra2变形为y0=(rA2-x02)½。对于每一给定的x0值均有对应的y0值，因此可确定C 点坐标C(x0，y0)，且点C(x0，y0)位于圆x02+y02=ra2之上。由于A点坐标为A(x0+a，x0+acotb)，因此A点也可随之确定。下一步只须判别x0，y0是否符合式(10)(即A点是否在渐开线上)，如符合，则x0，y0即为方程组的解。由于式(9)实质为式(5)=式(8)，因此可将其变形为式(5)-式(8)=0。由于式(5)、式(8)的值均为实数，要使二者绝对相等比较困难，因此这里只需将二者差值控制在某一范围内即可认为两式相等，如当-0.00001≤式(5)-式(8)≤0. 00001时可认为两式相等，即x0，y0符合式(10)，为方程组的解。 求解时需要选取x0的初值。若对x0采取递加计算，x0初值必须取在C点左边；若x0初值取在C点右边，则应对x0递减计算。计算时x0初值由计算机自动选取。 采用试值法求解方程组的程序流程如图3所示。 4 计算程序与实例
为提高求解方程组的计算效率，采用C语言编写了以下计算程序。虽然采用试值法(对x0试值)求解，但不需人工输入x0初值(由计算机自动选取)。只需输入渐开线花键参数，即可获得计算结果。 # include "stdio. h" # include "math. h" # define PI 3.141562652 double inv(double num) (return tan(num)-num;) double x0,y0,z,o,c,da,db,A,B1,B2,s,m,P1,AA,B,dc,Ax,M,dk,w,Ac,Wc,b,Fx,H,Aa,sd,sx,xs; main() {printf("c=M =d k="); printf("%1f%1f%1f",&c,&M,&dk); printf("m= z= o= da= A="); scanf("%1f%1f%1f%1f%1f",&m,&z,&o,&da,&A)); db=m*z*cos(A*PI/180); if(fmod(z,2)==1) Ax=acos(db*cos(PI/(2*z))/(M+dk)); else Ax=acos(db/(M+dk)); s=m*z*(PI/z-dk/db+inv(A*PI/180)-inv(Ax)); w=PI*m-s; Aa=acos(db/da); sd=da*w/(m*z)-da*(inv(Aa)-inv(A*PI/180)); sx=da*sin(sd/da); xs=-(sx/2+c); x0=xs; a100:x0=x0+0.0001; y0=sqrt(da*da/4-x0*x0); AA=acos((db/2)/sqrt((x0+c)*(x0+c)+(y0+c/tan(o*PI/180))*(y0+c/tan(O*PI/180)));B1=inv(AA); B2=(w*cos(A*PI/180)+m*z*cos(A*PI/180)*inv(A*PI/180))/db+atan((x0+c)/(y0+c/tan(o*PI/180))); B=B1-B2; (if B > 0.0001 | | B < -0.0001)goto a100 ; dc=sqrt((x0+c)*(x0+c)+(y0+c/tan(o*PI/180))*(y0+c/tan(o*PI/180)))*2; Ac=acos(db/dc); wc=dc*(w/(m*z)+inv(A*PI/180)-inv(Ac)); b=sin(wc/dc)*dc; Fx=90-o-180*asin((b+2*c)/(m*z))/PI; H=da*cos(Fx*PI/180)/2; printf("x0=%1f y0=%1f/n",x0, y0); printf("db=%1f AA=%1f/n",db,AA); printf("B=%1f s=%1f/n",B,s); printf("dc=%1f H=%1f/n",dc,H); getcha(); } 计算实例：已知渐开线花键拉刀参数：m=2.5mm，z=18，a=30°，s=3.76mm，ra=21.335mm，倒角为0.5×45°。采用原计算方法求得的倒角测量值h=16.958mm，而采用本文介绍的精确计算方法求得h=16.882mm。可见，两种计算方法的计算差值为0.076mm，且精确计算方法的计算值要小一些。因此，在对齿轮倒角要求不严格的情况下，采用原计算方法比较简便；而在对齿轮倒角要求严格的情况下，则应采用精确计算方法，并借助计算机程序辅助计算。
2019-05-25
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