圆柱铣刀前刀面法曲率的计算

　　摘　要：在保证设计法向前角的前提下，推导出了圆柱螺旋刃铣刀前刀面的法曲率计算公式，为高性能圆柱铣刀的制造提供了理论依据。
　　关键词：圆柱铣刀　前刀面　法曲率

Normal　Curvature　of　Helicoid Face of Cylindrical Milling　Cutters

Mao Shimin et al

Abstract： Under the condition that the normal rake ground is precise equal to that designed，the calculation formulas of the normal curvature of the helicoid face of cylindrical milling cutters are derived．It is the theoretical base for the manufacturing of high performance cylindrical milling cutters．
Keywords：cylindrical milling cutter helicoid face normal curvature

　　1．前言
　　对于前刀面为平面的刀具，前角和其它几何角度一起可完全确定前刀面的方位；而对于前刀面为曲面的刀具，几何角度则只能确定前刀面在刀刃处的切平面，不能确定前刀面的形状。前刀面的形状，特别是刀刃处前刀面的弯曲情况对卷屑、断屑和排屑影响甚大，是刀具的一个重要性能指标。文献［1］研究了如何精确磨出圆柱形螺旋刃铣刀的法向前角。本文将在此基础上，进一步对已经保证了法向前角的前刀面进行研究，求出它在刀刃处的法曲率，特别是与刀刃垂直方向的法曲率，从而了解刀刃处前刀面的弯曲状况，为制造性能优良的铣刀提供理论依据。
　　2．前刀面描述
　　图1为用砂轮外圆磨削圆柱铣刀前刀面的情况，磨削原理及各符号的意义已在文献［1］中作了说明。前刀面方程为^［1］

其中θ和为参变数，θ和参数曲线方向的切矢和为

图1　砂轮与刀具的相对位置

　　这是一般性切矢方程，对于图1中的M点则有

M点两条参数曲线方向的单位切矢仍用r_θ和r_φ表示，它们为　　

（5）式中，P为前刀面的螺旋参数，为M点与xoz平面的夹角　　

　　M点的单位法矢n（正向由前刀面指向容屑槽）为

　　3．方向的法曲率K_φ
　　由图1，砂轮端面与前刀面（1）的交线是半径为R_c的圆，它在M点的曲率为。由于是平面曲线，该点单位主法矢β_c 为（图1）

与之间的夹角θ₁为
　　cosθ₁＝.＝n_xsinφcosβ_w－n_ysinφsinβ_w＋n_zcosφ              （10）

由默尼埃定理^［2］可得法曲率

　　4．方向的法曲率K_θ和短程挠率G_θ
　　由于前刀面为圆柱螺旋面，θ参数曲线就是半径r＝d／2的圆柱面上的螺旋线。圆柱螺旋线上任一点的曲率k和挠率τ为常数，它们为（参见［2］P41的例2）　　

　　螺旋线上任一点的主法矢与螺旋线轴线垂直相交（参见［3］P59的习题3），所以M点的单位主法矢为

＝o，－sin，－cos              （14）

与前刀面法矢n之间的夹角θ₂为

cosθ₂＝^.＝－n_ysin－n_zcos              （15）

所以，方向的法曲率K_θ为

　　圆柱螺旋面上沿一条螺旋线（θ参数曲线）上任一点的螺旋面法矢与螺旋面轴线（x轴）的夹角也是固定的，所以该螺旋线的主法矢与相应点的螺旋面法矢的交角也是固定的。由此可得（参见［2］P237的定理3）

　　5．M点的法曲率及前刀面法向截形曲率半径ρ_M
　　图2为M点切平面内的情况。作的垂直方向，它也是M点处刀刃的法截线方向，该方向的法曲率用K_N表示，则该方向的短程挠率为－G_θ。

图2　M点的切平面

　　与之间的

夹角Δ为

cosΔ＝r_θ^.r_φ              （18）

方向的法曲率和短程挠率满足
　　K_φ＝K_θcos²Δ＋2G_θsinΔcosΔ＋K_Nsin²Δ
所以
　　K_N＝（K_φ－K_θcos²Δ－2G_θsinΔcosΔ）／sin²Δ              （19）

由此即得M点法向截形的曲率半径ρ_M为

求得K_N之后，即可求得任一方向r_α（图2）的法曲率K_α和短程挠率G_α为
　　K_θ＝K_θcos²α＋2G_θsinαcosα＋K_Nsin²α              （21）

　　G_α＝（K_N－K_θ）sinαcosα＋G_θ（cos²α－sin²α）              （22）

　　到此，M点的法曲率问题已完全解决。在实际切削中，流屑方向一般不在r_N方向，按（21）式即可求出流屑方向的法曲率，进而可研究流屑剖面（不一定是法截面）内前刀面的弯曲状况。
　　6．算例与说明
　　以立铣刀为例，铣刀直径d＝50mm，螺旋角β＝45°，法向前角γ_n＝15°，磨削深度h＝10mm，所用砂轮半径R_c＝35mm，砂轮轴线与刀具轴线之间的夹角β_w＋90°＝136．5°，磨削中心距H＝48．874mm，磨削偏距E＝－8．338。求得K_θ＝0．005176379，G_θ＝0．02，K_φ＝0．00250113，Δ＝120．7778326°，ρ_M＝39．4074mm。
　　对于一定的切削条件以及特定的卷屑、断屑和排屑要求，存在一个理想的前刀面弯曲状况，一般设计刀具时可以用ρ_M来表征。当按给定的磨削工艺参数计算出的ρ_M不能满足要求时，可以改变一些可调参数，例如重新计算R_c和β_w。