关于二阶常系数线性椭圆型偏微分方程组解的唯一性的若干结论

摘要：本文证明了一个矩阵方面的有用结论，即文中定理2，说明了当条件(Ⅰ)、(Ⅱ)成立时，对于二个自变量、二个未知函数的二阶常系数线性方程组(1)可化为强椭圆型方程组，这一结论也可推广到某些三个未知函数的情形。利用强椭圆型方程组解必定唯一的结论，证明了某些二阶常系数线性椭圆型方程组在有界闭区域内Dirichlet问题解的唯一性。
关键词：椭圆型方程；偏微分方程；矩阵；解的唯一性；强椭圆型偏微分方程组
中图分类号：O175.2

Some Results in the Uniqueness of Solution about Linear
Elliptical Partical Difference Equations of Two-order

Li Yuanting
(Dept. of Applied Engineering Nanchang Institute of Aeronautical Technology)

ABSTRACT: This paper gives an useful result about rectangles, i.e. the result of Th.2. And it shows that the two-order constant coefficient equations (1) for two independent variables, two unknown functions can be transformed into strongly elliptical difference equations. And this resultcan also be extended to the case of some three unknown functions. By use of the result that the strongly elliptical equations has the uniqueness of the solution, it is proved that the uniqueness of the solution about the Dirichlet problem for some linear elliptical partial difference equations of two-order in a bounded domain.
Keywords: elliptical equations; partical difference equations; rectangles; the uniqeness of the solution; strongly elliptical difference equations.

　　文〔1〕、〔2〕讨论了下面方程组在有界闭区域内Dirichlet问题解唯一的充分条件：

　　（1）

其中：A、B、C均是2阶实矩阵，而u=(u₁(x,y),u₂(x,y))′，f=(f₁(x,y),f₂(x,y))′是2维实函数列向量，证明了方程组(1)在任意有限闭区域内Dirichlet问题解唯一的充分必要条件是：
　　(Ⅰ)　对任意不全为零的实数ζ、η，成立：

｜Aζ²＋2Bζη＋Cη²｜≠0；

　　(Ⅱ)　对任意实数b、c，满足b²≤c,且

｜A＋2Bb+Cc｜≠0

　　对于方程组(1)的研究，常常作以下三种线性变换(详细过程请参看文〔1〕P．2)：
　　①　方程之间的线性组合；
　　②　未知函数的线性组合；
　　③　自变量的线性变换。
分别称以上三种变换为第一、二、三类线性变换。
　　设方程组(1)经上述三种非奇异线性变换后化为方程组

　　(2)

则必存在非奇异实矩阵R、S及实数p、q、r、s，满足

　　(3)

且
　　A₁＝p²RAS＋2pqRBS＋q²RCS
　　B₁＝prRAS＋（ps＋qr）RBS＋qsRCS　　（4）
　　C₁＝r²RAS＋2rsRBS＋s²RCS
　　设M是方阵，以下记，｜M｜表示矩阵M的行列式，又M＞0表示M是正定矩阵，而I_n表示n阶单位阵。
　　本文将首先证明，在条件(Ⅰ)、(Ⅱ)下，必存在2阶非奇异实矩阵P、Q，使得对任何实数λ，都有

　　（5）

其中A、B、C均是2阶矩阵，并将这一结论作某些推广，然后再用这些结论来证明某些二个自变量三个未知函数的二阶常系数椭圆型方程组解的唯一性。
　　定理1：若(4)成立，且存在实矩阵P₁，Q₁，使得对任何实数ξ，η都有：

　　(6)

则必存在实矩阵P、Q，使得对一切实数ξ′，η′成立：

　　(7)

证明：只须取P＝P₁R，Q＝SQ₁，ξ′＝pξ+rη，η′=qξ+sη，则必有(见文〔1〕)：

P(Aξ′²＋2Bξ′η′＋Cη′²）Q＝P₁ξ²＋2B₁ξη＋Cη²）Q₁　　（8）

即证得所要的结论。
　　定理2：设A、B、C均是2阶实方阵，且满足条件(Ⅰ)和(Ⅱ)，则必存在2阶实矩阵P、Q，使得对一切实数λ，都有(5)式成立。
　　证明：由文〔2〕中引理2知，对于方程组(1)必存在自变量的非奇异线性变换，使得方程组(1)化成方程组(2)的形式，且方程组(2)成为标准形，并且对于矩阵A₁，B₁，C₁来说，条件(Ⅰ)，(Ⅱ)也成立。再根据定理1知，我们可不妨设方程组(1)就是标准型(关于标准型的定义可参看文〔2〕)，并且设

　　（9）

　　由文〔2〕中唯一的一个定理的证明过程可知，除了当条件

a₁₁≠a₂₂,且(a₁₁-a₂₂)²＋4a₁₂a₂₁＝0　　（10）

成立时以外的所有情况，都存在矩阵P、Q，使得对一切λ，有(5)成立，因此只需证明条件(10)成立时结论(5)也成立即可。
　　根据文〔3〕P182定理1，我们不妨设a₁₂=-a₂₁,由文〔2〕知此时必有a₁₁＋a₂₂＝2，且｜A｜＝1，这样矩阵A必为下面两种情形之一：

　　以下仅对(i)来证，对(ii)的情况，只要对A、B、C同时分别左乘以矩阵，又右乘以矩阵后，即化为(i)的情形，记

　　对于矩阵A₁，B₁，C₁来说，条件(Ⅰ)和(Ⅱ)仍成立，而(10)式不再满足了。于是按照文〔2〕的有关证明知，必有矩阵P₁，Q₁，使得对一切实数λ，成立：

再由定理1即知定理2的结论成立。证毕。
　　注：设B=0(零矩阵)，由定理2知，若2阶矩阵A、C满足条件(Ⅰ)，则必存在矩阵P、Q，使得同时成为正定阵，这个结论可以推广到3阶矩阵的情形。
　　定理3：设A、C是3阶实方阵，对任意实数c₁≥0，c₂≥0，c₁,c₂不全为零，有：

｜c₁A+c₂C｜≠0　　(11)

则必存在3阶实矩阵P、Q，使得对任何实数λ，成立：

　　(12)

证明：由(11)知A、C都是非奇异阵，不妨设C=I₃，由于A是3阶阵，它必有一个实的特征值，记为a₁₁，对应的特征向量记为t₁，即：

At₁=a₁₁t₁　　(13)

不妨设t₁是单位向量，任取两个3维单位列向量t₂,t₃，使得t₁,t₂，t₃两两相互正交，众所周知，这样的t₂，t₃是一定存在的，这样向量组t₁、t₂、t₃就是3维向量空间的一组基，从而必有实数a_ij（i＝2，3；j＝1，2，3），使得：

　　（14）

记

　　（15）

易知T是正交阵，故有T′＝T^－1，且T′AT＝A₁。又由条件(11)知，对任何c₁≥0，c₂≥0，c₁，c₂不全为零，有：

　　(16)

于是必有a₁₁＞0，且

　　(17)

由上式及定理2知，必有2阶实方阵P₁，Q₁，使得对任意实数λ，成立

　　(18)

取

　　（19）

容易验证，只要k＞0充分小，总可使得(12)对一切实数λ成立。证毕。
　　注：条件(11)是必不可少 的，例如，设A＝－I，C＝I，这时对任何矩阵P、Q，(12)都不可能成立，原因是：此时条件(11)不满足。
　　又当(12)式对一切实数λ成立时，必有：

　　定理4：设A、C是3阶实矩阵，满足：对任何不全为零的实数ξ，η，｜Aξ²＋Cη²｜≠0，则方程组：

　　(20)

在任何有限闭区域内Dirichlet问题的解必唯一。其中u=(u₁（x,y),u₂(x,y),u₃(x,y))′，f=(f₁(x，y），f₂（x，y），f₃（x，y））′。
　　证明：由定理3知，方程组(20)通过第一、二类两种非异线性变换后，即可化为强椭圆型方程组，而众所周知，强椭圆型方程组在有界区域内Dirichlet问题解必唯一。证毕。
　　注1：定理4的结论可作一些推广，例如：对于方程组

　　(21)

的情形，这里A、B、C都是3阶实矩阵，如果经第一、二、三类线性变换后能将方程组(21)化成(20)的形式，那么方程组(21)在任何有限闭区域内Dirichlet问题的解也是唯一的。
　　注2：易知定理2的结论也可作为文〔2〕中定理的另一证明。