2 数控切削加工工艺参数优化的数学描述

1. 优化变量
   数控车削加工工艺参数的优化以主轴转速n、进给速度v_f、背吃刀量a_p作为优化变量，其向量表示为 X=(n，v_f，a_p)^T
   数控铣削加工工艺参数的优化以主轴转速n、进给速度v_f、背吃刀量a_p、铣削宽度a_e作为优化变量，其向量表示为 X=(n，v_f，a_p，a_e)^T
2. 目标函数
   1. 数控切削加工工时目标函数最高生产率与最短加工工时是一致的。数控切削加工工时为 t=l_w(1+t_ct)+t₀v_fT(1)式中：l_w——切削行程(mm)
      v_f——进给速度(mm/min)
      t_ct——换刀时间(min/次)
      T——刀具使用寿命(min/个)
      t₀——工序辅助时间(min)
      车削加工刀具的使用寿命为 T=K_TC_Tn^1/mv_f^1/na_p^1/p(2)
      铣削加工刀具的使用寿命为 T=K_TC_TD^qn^1/mv_f^1/na_p^1/pa_e^1/uZ^1/w(3)式中：C_T——系数
      K_T——修正系数
      m，n，p，u，w——指数
      D——铣刀直径
      Z——铣刀齿数
      将式(2)、(3)分别带入式(1)，可得数控车削加工工时目标函数为 M_t(X)=Av_f^-1+B_cv_f^(1/n-1)n^1/ma_p^1/p+t₀(4)
      数控铣削加工工时目标函数为 M_t(X)=Av_f^-1+B_xv_f^(1/n-1)n^1/ma_p^1/pa_e^1/u+t₀(5)
      式中：A=l_w
      B_c=(At_ct)/(K_TC_T)
      B_x=(At_ctZ^1/w)(/K_TC_TD^q)
      数控切削加工成本目标函数数控切削加工成本为 c=l_w(c₀+c₀t_ct+c_t)+t₀c₀v_fT(6)式中：c₀——单位时间生产成本(元/min)c_0t——刀具成本(元/个)
      将式(2)、(3)分别代入式(6)，可得数控车削成本目标函数为 M_c(X)=Ev_f^-1+F_cv_f^(1/n-1)n^1/ma_p^1/p+G (7)
      数控铣削成本目标函数为 M_c(X)=Ev_f^-1+F_cv_f^(1/n-1)n^1/ma_p^1/pa_e^1/u+G (8)式中：E=c₀l_w
      F_c=l_w[c_t+c₀t_ct)/(K_TC_T)]
      F_x=[l_w(c_t+c₀t_ct)Z^1/w]/(K_TC_TD^q)
      G=c₀t₀
   2. 数控切削加工质量目标函数
      1. 数控切削加工尺寸精度目标函数
         数控切削加工尺寸精度目标函数为 M_z(X)=d(9)式中：d——切削力作用下刀具或工件的变形量数控车削加工时： d=5l³F_H10³KEI数控铣削加工时： d=l³F_H10³·3KEI式中：F_H——径向切削力(N)
         l——工件支撑或刀具悬臂长度(mm)
         K——工件装夹方法系数
         I——工件或刀具惯性矩(mm4)
         E——工件材料的弹性模量(GPa)
      2. 数控切削加工表面质量目标函数数控切削加工表面质量目标函数为： M_R(X)=R_a(10)
3. 约束条件
   设计变量约束条件的一般形式为 g_i(X)≤0 (i=1，2，3，…)(11)
   数控切削加工过程中的切削力、切削功率、机床主轴扭矩、刀具强度、刀具几何参数、切屑的控制、机床主轴最大转速、机床最大进给速度以及加工余量等因素构成了工艺参数优化的约束条件。

3 基于主要目标法的多目标优化数学模型

1. 主要目标法多目标函数的建立
   设有m个优化目标：M₁(X)，M₂(X)，…，M_i(X)，…，M_m(X)，以第i个目标M_i(X)为主要目标，则多目标优化目标函数可表示为 M(X)=M_i(X)且满足约束条件：M₁(X)≤M₁0，…，M_i-1(X)≤M_i-10，M_i+1(X)≤M_i+10，…，M_m(X)≤M_m0；其中M₁0，…，M_i-10，M_i+10，…，M_m0为各次要目标允许的最大值。
   在数控切削加工中，为了达到最优加工质量，工时和成本会显著增加。从数控加工的经济性考虑，单纯追求加工质量最优显然并不合适，因此在以工时、成本、质量为优化目标的多目标优化中，一般将工时或成本作为主要目标，而将质量目标转化为约束条件。
2. 以加工工时为主要目标的多目标优化数学模型
   对于以实现最高生产率为目的、以加工工时为主要目标的多目标优化数学模型，设计变量的向量表示为 X=(n，v_f，a_p)^T
   或 X=(n，v_f，a_p，a_e)^T
   目标函数为 M(X)=M_t(X)且满足约束条件：M_c(X)≤M_c0，M_Z(X)≤M_Z0，M_R(X)≤M_R0，g_i(X)≤0(i=1，2，3，…)；其中M_c0，M_Z0，M_R0分别为成本、尺寸精度、表面质量等次要目标允许的最大值。
3. 以加工成本为主要目标的多目标优化数学模型
   对于要求实现加工成本最低、以加工成本为主要目标的多目标优化数学模型，设计变量的向量表示为 X=(n，v_f，a_p)^T或 X=(n，v_f，a_p，a_e)^T
   目标函数为 M(X)=M_c(X)且满足约束条件：M_t(X)≤M_t0，M_Z(X)≤M_Z0，M_R(X)≤M_R0，g_i(X)≤0(iE1，2，3，…)；其中M_t0，M_Z0，M_R0分别为工时、尺寸精度、表面质量等次要目标允许的最大值。

4 基于线性加权和法的多目标优化数学模型

1. 线性加权和法多目标函数的建立
   设有m 个优化目标：M₁(X)，M₂(X)，…，M_i(X)，…，M_m(X)，根据线性加权和法，多目标优化时的目标函数可表示为 M(X)=ml_iM_i(X)Si=1式中l_i为加权系数，反映第i个优化目标M_i(X)在多目标优化中的重要程度。为在各分目标之间进行合理折衷，加权系数l_i可确定为 l_i=1/M_i^*式中M^*为以第i个分目标M_i(X)为目标函数的单目标优化的目标函数值。则多目标优化的目标函数为 M(X)=M₁(X)+M₂(X)+…+M_i(X)M₁^*M₂^*M_i^*(12)
   式(12)反映了各单目标函数值偏离其最优值的程度以及各单目标在多目标优化中的重要程度。
2. 数控切削加工多目标优化数学模型的建立
   根据线性加权和法，对于以工时、成本、质量为优化目标的数控切削加工工艺参数多目标优化数学模型，设计变量的向量表示为 X=(n，v_f，a_p)^T或 X=(n，v_f，a_p，a_e)^T
   目标函数为 M(X)=M_t(X)+M_c(X)+M_Z(X)+M_R(X)M_t^*M_c^*M_Z^*M_R^*且满足约束条件：g_i(X)≤0(i=1，2，3，…)。式中M_t^*、M_c^*、M_Z^*、M_R^*分别为以工时、成本、尺寸精度、表面质量为目标函数时的单目标优化的目标函数值。
3. 以工时、成本为主要目标的多目标优化数学模型的建立
   在以最短加工工时和最小加工成本为控制目标的数控切削加工中，工艺参数的优化应以加工成本和加工工时同时作为主要目标，而以加工质量作为次要目标。因此在该多目标优化数学模型中，设计变量的向量表示为 X=(n，v_f，a_p)^T或 X=(n，v_f，a_p，a_e)^T
   目标函数为 M(X)=M_t(X)+M_c(X)M_t^*M_c^*且满足约束条件：M_Z(X)≤M_Z0，M_R(X)≤M_Z0，g_i(X)≤0(i=1，2，3，…)；式中M_t^*、M_c^*分别为以工时、成本为目标函数时单目标优化的目标函数值；M_Z0、M_R0分别为尺寸精度、表面质量等次要目标允许的最大值。

5 优化算法及计算实例

1. 优化算法
   由于数控切削加工的工艺参数优化数学模型为非线性模型，因此本文采用网格直接寻优的算法进行求解。具体计算步骤见下图。
2. 优化算例
   
   
   图1 网格法运算流程图
   1. 数控车削加工优化算例
      在数控车床上加工材料为T10A的工件。加工技术要求：工件直径D=100mm；切削行程l_w=150mm；加工余量d=1mm；表面粗糙度R_a=1.6µm；尺寸精度0.05mm。生产条件：加工机床：CK7815数控车床；刀具材料：硬质合金；刀具参数：主偏角k_r=45°，前角g₀=20°，刀尖圆弧半径r_e=0.8mm；刀具成本C_t=15元；辅助时间t₀=1min；换刀时间t_ct=0.5min；工时成本C₀=0.1元/min。工艺参数优化结果见表1。 表1 数控车削优化算例计算结果优化结果以工时为
      主要目标以成本为
      主要目标工时、成本
      多目标t(min)1.922.472.24c(元)0.720.610.65n(r/min)824542573v_f(mm/min)165103114.6a_p(mm)111
   2. 数控铣削加工优化算例
      表2 数控铣削优化算例计算结果优化结果以工时为
      主要目标以成本为
      主要目标工时、成本
      多目标t(min)1.712.692.36c(元)3.672.873.04N(r/min)17907881182v_f(mm/min)286.4118.2189.2a_p(mm)111a_w(mm)0.320.320.32
      在数控铣床上进行模具型腔曲面加工，工件材料为3Cr2W8V。加工技术要求：切削行程l_w=200mm；加工余量d=1mm；表面粗糙度R_a=3.2µm；尺寸精度0.10mm。生产条件：加工机床：XK5032A数控铣床；加工刀具：硬质合金球头铣刀(2刃)，铣刀直径d=16mm；刀具成本C_t=150元；辅助时间t₀=1min；换刀时间t_ct=0.5min；工时成本C0=0.1元/min。工艺参数优化结果见表2。
3. 优化结果分析
   1. 以工时为主要目标进行优化时，n、v_f较高，刀具磨损严重，因此加工成本较高；以成本为主要目标进行优化时，刀具磨损较小，n、v_f较低，加工工时较多，生产率较低。
   2. 以工时、成本同为主要目标进行多目标优化时，由于在工时、成本目标之间进行了合理折衷，因此优化结果介于上述两者之间。
   3. 在各目标优化过程中，为尽可能缩短加工工时、减少加工成本，a_p和a_w主要受到加工余量和表面质量的约束。

6 结语