刀具磨损的偏最小二乘回归分析与建模

2018-05-10 74

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金属切削加工过程中，刀具的磨损与破损是影响被加工零件精度和表面质量的重要因素，严重的刀具磨损还会引起切削颤振，损坏机床、刀和工具和工件。通常，刀具的磨损发生在刀具与工件的两个接触区上。在较高的切削温度下，刀具前刀面在切屑流过时产生的正向压力和磨擦作用下会出现摩损，称为前刀面磨损(月牙洼磨损)；切削加工时刀具后刀面上与工件已加工表面的磨擦在后刀面上产生一个磨损带，称之为后刀面磨损。在实际加工过程及理论实验研究中，主要以后刀面磨损带上的磨损量VB 值衡量刀具的磨损程度。

切削刀具磨损产生的机理较复杂，影响因素较多，很难建立一个准确适用的分析模型，因此，多采用由实验数据进行分析和建模，常用的方法有采用最小二乘拟合建立显式模型，或采用人工神经网络进行学习训练建立隐式模型。这些方法各自存在一些缺点，经典的最小二乘回归拟合方法难以克服变量的多重相关性，而人工神经网络对模型的解释性差，此外，这些方法都不具备变量筛选功能。本文研究采用偏最小二乘回归PLSR(Partial Least-squares Regression)理论，对切削过程刀具磨损实验数据进行分析和建模的方法。该方法可以进行变量筛选，有效地克服变量间的多重相关性，建立较为理想的刀具磨损的多元回归模型，还具有较好的可解释性。

1 偏最小二乘回归原理简述

考虑到算法的一般性，将多因变量对多自变量的偏最小二乘回归原理和算法，作如下的简述。

对因变量Y:

和自变量X :

为了研究Y与X之间的统计关系，首先在自变量X中，提取一个主成分t₁( t₁是x₁, x₂，…，x_p的线性组合)，同时，在因变量Y中，提取一个主成分u₁(u₁是y₁, y₂，…，y_q的线性组合)。偏最小二乘回归分析在提取这两个主成分时，有如下两个要求:

t₁和u₁应尽可能大地提取它们各自原变量系统中的变异信息；
t₁与u₁的相关程度能够达到最大。

这两个要求表明，t₁和u₁应尽可能好地综合他们各自的原变量系统，同时，自变量主成分t₁对因变量主成分u₁的解释性又能达到最大。

在第一主成分t₁和u₁被提取出来后，分别实施X对t₁的回归以及Y对t₁的回归。如果回归方程已经达到满意的精度，则算法终止；否则，将利用X被t₁解释后的残余信息以及Y被t₁解释后的残余信息进行第二轮的主成分提取。如此反复，直到达到要求的精度为止。若最终对X共提取了m个主成分t₁, t₂，…，t _m，偏最小二乘回归将通过实施y_k对t₁, t₂，… ，t_m的回归，最后表示成y_k关于原变量x₁, x₂，…，x_p的回归方程，其中，k＝1, 2，… ，q。

根据上述原理，偏最小二乘回归的算法可归纳为如下步骤。

将原始观测数据X、Y标准化，得到标准化后的自变量矩阵E₀和因变量矩阵F₀。
求主轴w_i、c_i和主成分t_i、u_i，采用如下迭代算法(为简化起见，略去下标i) :
1. 取u为某一列y_j, E=E₀，F=F₀；
  对E数据块：
2. w^T= u^TE/u^Tu
3. w^T_new=w^T_old/||w_old||
4. t=Ew/w^Tw
  对F数据块：
5. c^T=t^TF/t^Tt
6. c^T_new=c^T_old/||c_new||
7. u=Fc/c^Tc
8. 检查收敛性，若在第d.步计算的t值或满足计算精度要求，则转i. ，否则，转至b.；
9. p^T=t^Tx/t^Tt
10. p^T_new=r^T_old/||p_new||
11. t_new=t_old/||t_old||
12. w^T_new=w^T_old/||p_old||
13. 计算残差E_res和F_res: E_res=E-tp^T
  F_res=F-tr^T
令E=E_res, F=F_res。返回第b.步，进行下一轮主轴和主成分的计算；若在计算完第m个成分后算法终止，则有 E₀=t₁p₁^T+t₂p₂^T+…+t_mp_m^T
F₀=t₁r₁^T+t₂r₂^T+…+t_mr_m^T
由于t₁, t₂，…，t_m均可表示为E₀₁, E₀₂，…，E_0m的线性组合，因此可以得到y^*=F₀关于x_j^*=E_0j的回归方程形式： Y^*=a₁x₁^*+a₂x₂^*+…+a_mx_m^*+F_m
式中F_m为残差。
按照标准化的逆过程，将Y^*还原为Y。

表切削实验条件序号 V(m/min) f_r(mm/min) a(mm) 1 350 300 2.0 2 250 300 2.0 3 150 300 2.0 4 350 150 2.0 5 250 150 2.0 6 150 150 2.0 7 325 240 1.0 8 325 120 1.0

2 实验数据及其分析与建模

实验数据的获取
切削过程刀具磨损的有关数据是在数控车床上进行实验而获得，刀具材料为硬质合金(Sandvik Coromat Co. TNMG16-04-08-QM) ，工件为P20模具钢棒料，由安装在刀架上的Kistler动态测力仪实时测量加工过程中三向切削分力，切削分力由智能切削模块处理并保存在硬盘上，每切削一定行程(即进给距离S)后，刀具的磨损值VB由刀具显微镜测定并记录。
在不同的切削条件下，进行了多组切削实验。实验条件如右表所示。
在右表所示的切削条件下，进行了车削实验，试验测得切削分力值F_x、F_y、F_z，图1所示为x向切削分力均值曲线，后刀面磨损量VB如图2所示

图1 切削分力F_x测量值

图2 后刀面磨损测量值

刀具磨损的PLSR分析与变量筛选

在切削加工过程中，由于影响刀具磨损的因素较多，建模时首先要进行自变量的筛选。本研究中采用PLSR方法进行变量筛选。以切削速度V、进给量f、三向切削分力的均值F_x、F_y和F_z、分力比值R_yx=F_x/F_x、R_zx=F_z/F_x以及切削深度a等8 个变量作为自变量，作变量重要性投影VIP指标及因子分析，得出VIP指标图(图3)和因子载荷a_i图(图4 )。

图3 变量的VIP图

图4 因子载荷图

VIP图和a_i图显示，变量f(进给速度)和变量a(切削深度)的VIP值和载荷因子系数a₂和a₈相对于其它变量来说要小得多，因此在模型中，可以忽略。这一结果对实际加工过程中对刀具磨损的在线实时估计和监控具有十分重要的意义，因为在加工过程中，切削深度随着工件的廓形或加工余量的变化会发生变化，而进给速成度可能由于操作者的修调也不会保持为常量。根据上述分析，建模时可去除变量f和变量a。更深入的切削力学和刀具磨损机理分析表明，当引入切削力比值后，可以忽略切削深度及进给量对刀具磨损的影响。因此，PLSR对实验数据的分析与理论分析结果是相吻合的，这表明PLSR对刀具磨损影响因素的分析具有与切削理论一致的解释。可以认为，以切削速度V、切削分力F_x、F_y、F_z的均值、比值R_yx和RR_zx作为自变量，以刀具磨损VB^*值为因变量，对刀具磨损的建模和在线预报是较好的选择。因此，切削过程刀具磨损的模型可表示为 VB^*=aa₁V^*+a₂F_x^*+a₃F_y^*+a₄F_z^*+a₅R_yx^*+a₆R_zx^*

刀具磨损的PLS回归模型

对表1所列的切削条件下的实验数据，根据上述分析，以V、F_x、F_y、F_z、R_yx、R_zx作为自变量，VB ^*作为因变量，进行偏最小二乘回归迭代计算，求得 VB^*=0.065V^*+0.036F_x^*+0.363F_y^*+0.151F_z^*+0.261R_yx^*+0.4R_zx^* (1)

将VB^*按标准化的逆过程，即求出VB。

3 数据校验与在线预报模拟

采用建模数据校验采用由式(1)表示的切削过程刀具磨损的偏最小二乘回归模型，对建模所用数据覆盖的切削条件下的实验数据进行校验计算，得到对VB 的计算值，图5 给出了计算值VB’与实测值VB对比的散点图。可以看出，大多数计算值与实测值是吻合的。

图5 对部分实验数据的校验结果
图6 在线预报模拟结果
在线预报模拟
为检验模型(1)是否适用于自变量新测量值的情况，采用在新的不同实验条件下测量的自变量数据，模拟实际切削过程中在线估计刀具磨损的情况。模拟估计结果VB’与实测值VB对比的散点图示于图6 。由该图可知，对于建模时没有覆盖的切削条件下的新测量样本点，由式(1)给出的回归模型仍可获得较好的估计预报值。

4 结论

偏最小二乘回归PLSR是一种由数据样本进行建模的统计回归方法。该方法可用于切削过程中刀具磨损量的分析与建模，模拟在线预报表明该方法将可应用于切削加工过程中刀具状态的在线实时预报。采用偏最小二乘回归方法时，若选取合适的变量组合后，使得因变量和自变量第一主成分之间呈较好的线性相关性时，偏最小二乘回归模型可以获得较高的精度和可靠性，且PLSR模型的表达式简单明了，对切削过程中各因素对刀具的磨损量的影响有很强的解释意义，可以揭示出因变量与自变量之间的内在关系，通过图示，可以清楚地分析和选取适当的自变量，这是其它由数据进行建模的方法难以比拟的特点；从建模和预报的计算量考虑，PLSR建模可以用直接计算法，也可以用迭代算法，其计算量都较小，建模后进行预报的计算量更是非常小，这对于进一步研究发展实时在线建模和模型修正算法有很重要的意义。综上所述，偏最小二乘回归方法是一种简单可靠、解释性强、计算量小的建模方法，应用于切削过程中刀具状态的建模、分析与预报，可获得比较满意的结果。

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