1 圆柱体相交相贯线轨迹数学模型

图1 对心垂直相交
1. 对心垂直相交
   图1为两对心垂直相交圆柱体，其圆柱半径分别为R和r。以相贯线在半径R的圆柱体上的最高点(A、A’点)的横截面为Z₀平面，以半径为r的圆柱体中心线与Z₀平面交点为坐标系原点，建立XYZ直角坐标系。圆柱体r参数方程为：
   x=rsinf
   y=rcosf (1)
   而圆柱体R在此坐标系中方程为：
   X²+(Z+R)²=R²
   不考虑圆柱体R下半部分(下半部无相贯线)，则：
   Z=(R²-X²)^½-R=[R²-(rsinf)²]^½-R (2)
   两圆柱相交相贯线上任一点必须同时落在两圆柱上，故其坐标值在XYZ坐标系中应满足
   x=rsinf
   y=rcosf
   Z=[R²-(rsinf)²]^½-R (3)
   式(3)即为对心垂直相交圆柱体相贯线轨迹方程。
   
   图2 图柱斜截口
2. 对心斜相交
   任一圆柱形物体的斜截口是椭圆形。图2所示圆柱体半径为r，倾斜角为a，则截平面XOY中截得椭圆形，其短半轴为r，长半轴为r/sina，该椭圆参数方程为：
   x=rsinf
   y=(r/sina)cosf (4)
   图3 为两对心斜相交圆柱体，交角为a，圆柱半径分别为R和r。用研究圆柱体对心垂直相交时的同样方法确定几平面并建立XYZ直角坐标系。
   若以平行于Z₀平面的截面来截相贯线，并且仍以圆柱体r中心线与新截面交点为新坐标系的原点，建立坐标系X’Y’Z’。由图2可知，新截面上的椭圆在原XYZ坐标系中的参数方程为：
   x=rsinf
   y=(r/sina)cosf+Z/tana (5)
   两圆柱体斜相贯时，相贯线上任一点同样必然同时落在两圆柱体上，故其坐标值在xYZ 坐标系中应为：
   x=rsinf
   y=(r/sina)cosf+Z/tana
   Z=[R²-(rsinf)²]^½-R (6)
   式(6)即为对心垂直相交圆柱体相贯线的轨迹方程。

2 轨迹插补控制及误差估算

1. 轨迹插补控制
   (3)式和(6)式表述的相贯线是一条复杂的空间曲线，若按进给当量进行逐点插补，显然对一般数控系统而言是极为困难的。但倘若能用多段空间直线来逼近相贯线，从而用对连续有限的分段空间直线插补来替代全域内的空间曲线插补，只要将逼近误差控制在加工精度所要求的范围内，普通三坐标数控系统就能加工出合格的相贯线来。
   在式(3)和式(6)中以角f为自变量，采用等角度变换法来计算出相贯线上离散的点坐标值。任意两相邻点的间隔角度Df=2p/N(N为分度数)。分度数N值越大，逼近直线段就越多，逼近误差则越小。但N值过大，数控系统计算的逼近点坐标值过多，预处理运算时间太长，所以在加工精度允许的前提下N值不宜太大。
   
   图3 对心斜相交
   图4 内接弦线逼近
2. 误差估算
   采用上述方法，理论相贯线与实际加工线之间的误差不但与直线段数N有关，并与二圆柱体半径R与r也有关。严格地计算误差与它们之间的相互关系较为复杂。而实际生产中相贯线孔和相贯线管端头的加工仅为最后焊接工序服务，所以加工精度要求并不太高，完全可以用估算的方法来确定误差范畴。
   图4所示为用内接弦线逼近圆弧时的情况，这一情况反映了图1 与图3中任一平行于几平面截面上的理论截口弧线与实际逼近弦线之间的误差e_r(由于Df很小，椭圆形截口上任一点曲率半径r可视作R)。径向误差e_r可用下式计算：
   e_r=R[1-cos(Df/2)] (7)
   将cos(Df/2)按幂级数展开：
   cos(Df/2)=t-(Df/2)²/2!+(Df/2)⁴/4!-……
   取其二阶近似值代人式(7)得
   e_r≈R-R[1-(Df/2)²/2!]=R[Df²]/8 (8)
   若分段数N=180，则Df=2p/180，取R=1 000mm时。e_r≈0.5mm。
   在二圆柱体对心垂直相交时，式(7)中R取上圆柱体半径r，而在对心斜相交时，R应以斜截口椭圆的长半轴r/sina值代入(最大误差发生处，交角a值一般在45°～135°之间)。当a=45°或135°, r=1,000mm 时，e_max≈O.21mm 。
   上述径向误差e_r仅反映了相贯线与逼近直线段在水平投影面上的误差。而相贯线在垂直截面(XOZ) 上的投影应符合式(2)(下圆柱体方程)。式(8 )已不适合分析垂直投影面上的误差，因为由式(2)可知，当f角以Df增量变化时，DZ_i变化并非是均匀的。每一小段直线在此截面上投影长度为：DL= (DX_i²+DZ_i²)^½
   取R=r=1000mm，且同样以Df=2p/180间隔进行直线段逼近，在计算机中用循环计算比较的方法算得，随f角的变化，直线段在XOZ平面投影取得最大值DL_max为：
   DL_max=(DX_i²+DZ_i²)^½≈34.92mm
   根据图4 :
   e_max(2R-e_max)=(DL_max/2)²
   舍去高阶误差，e_max=(DL_max)²/8R≈0.15mm 。
   由上述估算可知(既便是再考虑计算误差)，当R_max=r_max=1000mm ，以2°为间隔获取逼近线段时，无论直相贯或斜相贯，理论相贯线和实际逼近线在水平与垂直平面上投影的误差都大大小于1mm ( R 、r值越小误差也越小)，足以保证焊接精度要求。严格的空间误差计算可通过空间曲线逼近误差的数值计算方法来实现，从误差数量级上而言与估算结果是一致的。

3 轨迹控制软件设计

1. 预处理
   式(3)与式(6)分别用于直相贯或斜相贯时小直线段起终点坐标值的计算。在一般数控系统中用汇编语言可以实现此类计算，但比较费时。为不占用实时加工时间，所有点坐标的计算可安排在初始化后预处理时一次性完成。本软件计算公式中角度f与a值均以整数度为单位(角度只取整数)。软件中sin、cos、tan从0°～360°的值分别用列表方式固化在内存中，这样求坐标值时只需查表后计算，避免了三角函数求值运算，大大提高了运算速度。预处理算得的N组节点坐标值放在内存固定区域内，供后续程序插补时调用。
2. 改进的数字积分法插补
   空间直线插补的方法很多，本软件采用数字积分法进行插补。数字积分法的原理许多书中都已介绍，本目文不再赘述。值得注意的是，针对逼近相贯线直线段的特点，必须采取一些改进的措施。
   由于圆柱体直径不同，相贯线总长也不同，相贯线经分段处理后，各逼近直线段的长度亦不相同。为使插补长线段和插补短线段都获得均匀的进给速度，必须进行左移规格化处理，即将被积函数寄存器(J_VX、J_VY、J_VZ)中存放的非规格化数字——直线段起终点坐标增量值(X_e、Y_e、Z_e)同时左移(最低位移入零)，直至J_VX、J_VY和J_VZ中任一个数成为规格化数(最高位为1)。通过这样处理，被积函数相当于放大了2ⁱ倍，而累加次数则减少了2ⁱ倍，从而提高了溢出速度，进给速度得以均匀化。
   
   图5 轨迹控制软件流程图
   相贯线经分段处理后，各逼近直线段起、终点坐标增量值(X_e、Y_e、Z_e)是变化的。有时其中一个值接近零，另一个值则很大。这样插补运算时前者的积分器连续溢出，而后者几乎没有溢出，从而使二个积分器的溢出脉冲速率相差悬殊，致使插补轨迹偏离给定直线较远。为减小上述原因带来的误差，需采用半加载法，即在累加之前，给余数寄存器弄J_RX、J_RY、J_RZ预置的初值不是零，而是2^N/2 ( N为寄存器位数)。这样可使溢出提前，改变了溢出脉冲时间分布，达到了提高插补精度的目的。轨迹控制软件流程如图5。

4 结语