1. 直线与直线相交
   在图2中，A、B、C、D为工件轮廓节点，a、b、c、d为刀具中心轨迹节点，其坐标关系为：
   x_m＝x_n＋Δx_N
   y_m＝y_n＋Δy_N
   式中，x_m、y_m为刀具中心轨迹节点坐标值；x_n、y_n为工件轮廓节点的坐标值；Δx_N、Δy_N为工件轮廓和刀具中心对应节点连线的向量在两个坐标轴上的分量。
   欲求x_m、y_m应先求出Δx_N、Δy_N，设直线AB、BC与X轴的夹角为a和b，则有：Δx_N=l cos[(a+b)/2+p/2]=-l sin[(a+b)/2]
   Δy_N=l sin[(a+b)/2+p/2]=l cos[(a+b)/2]
   
   式中，l=r/cos[(a-b)/2]由此可得：Δx_N=r{-sin[(a+b)/2]}/cos[(a-b)/2]
   Δy_N=r cos[(a+b)/2]/cos[(a-b)/2]
   
   式中，l为工件轮廓和刀具中心对应节点间的距离；r为刀具半径；a、b为按逆时针方向工件轮廓节点前、后两直线与X轴的夹角。
   令：p=-sin[(a+b)/2]/cos[(a-b)/2]，q=cos[(a+b)/2]/cos[(a-b)/2]
   则有：Δx_N＝rp　　Δy_N＝rqx_m＝x_n＋rp　　y_m＝y_n＋rq(1)
   若连续三个节点的坐标为(x_A、y_A)、(x_B、y_B)、(x_C、y_C)，则有：
   tana＝(y_B－y_A)/(x_B－x_A)
   tanb＝(y_C－y_B)/(x_C－x_B)
   如果p、q不用a、b表示，可直接用节点前、后两直线的坐标增量表示：p=[x₂(x₁²+y₁²)^1/2-x₁(x₂²+y₂²)^1/2]/(x₁y₂-x₂y₁)
   q=[y₂(x₁²+y₁²)^1/2-y₁(x₂²+y₂²)^1/2]/(x₁y₂-x₂y₁)
   式中　x₁＝x_B－x_A　　y₁＝y_B－y_A
   x₂＝x_C－x_B　　y₂＝y_C－y_B
   
   图3 刀具右偏
   上面公式是顺着刀具运动方向看，刀具在工件轮廓左侧的情况下导出的，对于其刀具在工件轮廓右侧的情况，其矢量方向正好相反，如图3所示，则有：

   p=[x₁(x₂²+y₂²)^1/2-x₂(x₁²+y₁²)^1/2]/(x₁y₂-x₂y₁)
   q=[y₁(x₂²+y₂²)^1/2-y₂(x₁²+y₁²)^1/2]/(x₁y₂-x₂y₁)
   为了计算方便，将p、q表示为：{p=K[x₂(x₁²+y₁²)^1/2-x₁(x₂²+y₂²)^1/2]/(x₁y₂-x₂y₁)(2)K[y₂(x₁²+y₁²)^1/2-y₁(x₂²+y₂²)^1/2]/(x₁y₂-x₂y₁)
   式中，K为刀偏修正系数，当刀具左偏时，K＝1，当刀具右偏时K=-1。
   
   图4 直线与圆弧、圆弧与圆弧相切示意图
2. 直线与圆弧、圆弧与圆弧相切
   如图4所示，切点B处的矢量可通过直线或圆弧求出。

   • 直线与圆弧相切时，有：{p=K(y_A-y_B)/[(y_B-y_A)²+(x_B-x_A)²]^1/2(3)q=K(x_A-x_B)/[(y_B-y_A)²+(x_B-x_A)²]^1/2
     或：{p=K(x_B-x₀)/R(4)q=K(y_B-y₀)/R
     式中，K为刀偏修正系数，取值同前；x₀、y₀为圆弧段圆心坐标值；R为圆弧段半径。
   • 圆弧与圆弧相切时，设两相切圆的方程为：
     (x－x₁)²＋(y－y₁)²＝R₁²
     (x－x₂)²＋(y－y₂)²＝R₂²
     切点为B，则B处的矢量为：

     {p=K(x_B-x₂)/R₂(5)q=K(y_B-y₂)/R₂
     或：

     {p=K(x_B-x₁)/R₁(6)q=K(y_B-y₁)/R₁
     式中，K为刀偏修正系数，取值同前；x₁、y₁和x₂、y₂为相切圆弧的圆心坐标；x_B、y_B为切点坐标；R₁、R₂为圆弧半径。

   
   图5 直线与圆弧、圆弧与圆弧相交过渡示意图
3. 直线与圆弧、圆弧与圆弧相交
   单位矢量补偿法只能处理相交两直线、直线与圆弧或圆弧与圆弧相切的情况，对于直线与圆弧或圆弧与圆弧相交的情形，则需要对原始图作适当的修改，在不降低工件精度的情况下，于相交处增加一辅助圆弧r以过渡。如图5所示。过渡圆弧半径r的选取至关重要，它既与技术要求有关，还同本程序段所采用的刀具半径r_刀有关，选择时应满足r＞r_刀的条件，否则将不能构成连续切削的图形，同样会产生干涉。
   设直线L的方程为：
   Kx－y－Kx_A＋y_A＝0　令A＝B　　B＝－1
   C＝y_A－Kx_A或C＝y_B－Kx_B
   K＝(y_B－y_A)/(x_A－x_B)
   O₁(x₁,y₁)为与直线L相交圆弧的圆心，R为半径，O(x₀,y₀)为过渡圆弧r的圆心，它与直线L和圆R分别相切于D、E，r、R及O₁坐标已知，则有：{r=(Ax₀+By₀+C)/(A²+B²)^1/2(7)(r+R)²=(x₀-x₁)²+(y₀-y₁)²
   解式(7)求出过渡圆弧r的圆心坐标x₀，y₀，切点D、E的坐标可通过解下列方程组求出：{r²=(x₀-y_D)²+(y₀-y_D)²(8)Ax_D+By_D+C=0{r²=(x₀-y_E)²+(y₀-y_E)²(9)R²=(x₁-y_E)²+(y₁-y_E)²
   同理可求出两圆弧相交时，在交点处过渡圆弧r的圆心O及与R₁、R₂圆的切点D、E的坐标值，其中圆心为O₁、O₂，其求值的方程为：

   {(R₁+r)²=(x₀-x₁)²+(y₀-y₁)²(10)(R₂+r)²=(x₀-x₂)²+(y₀-y₂)²{r²=(x₀-x_D)²+(y₀-y_D)²(11)R₁²=(x₁-x_D)²+(y₁-y_D)²{r²=(x₀-x_E)²+(y₀-y_E)²(12)R₂²=(x₂-x_E)²+(y₂-y_E)²
   式中r、R₁、R₂、x₁、y₁、x₂、y₂已知，解式(10)，求得过渡圆弧r的圆心坐标值x₀、y₀；解式(11)、式(12)，求得切点D、E的坐标值x_D、y_D、x_E、y_E。
   对于刀具引入和退出轮廓面的矢量同理可求出：

   • 直线段：{p=K(x₂-x₁)/[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]^1/2(13)q=K(y₂-y₁)/[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]^1/2
     式中，K为刀偏修正系数，取值同前；x₁、y₁为进入点坐标；x₂、y₂为退出点坐标。
   • 圆弧段：{p=K(x₁-x₀)/R(14)q=K(y₁-y₀)/R
     式中，K为刀偏修正系数，取值同前；x₀、y₀、R为圆弧的圆心坐标和半径；x₁、y₁为圆弧起点坐标。

   
   图6 刀具半径r大于台阶高度h的过渡示意图
4. 对小台阶型面的过渡
   在实际加工中，常会遇到加工刀具的半径r大于台阶高度h的情况，如图6所示。若编程时不作任何处理，直接用给定的坐标值以转角的方式编程，则必将导致过切如图6a中阴影部分。因此，遇到这种情形时，需对编程点坐标作相应的处理，在程序中采用走直线的方法对台阶面进行过渡，如图6b所示，有：BE=[r²-(r-h)²]^1/2(15)
   x_E＝x_B－BE　　y_E＝y_B
   为了计算方便，走刀终点E的求解通式为(如图6c所示)：

   {x_E=x_B-BEcosq(16)y_E=y_B+BEsinq
   式中，q为直线段AB与X轴的夹角，有正负之分。
   其正确的加工程序段为：
   N100G01G41xayaZaFgN110 xeye ;不能用转角指令N120 G71xeye ;转外角N130 G41xdyd
   以上过渡算法，已用C语言编成了计算机程序(具体程序略)。

二、切入切出程序的设计

三、结论