与化工、冶金等流程工业对于数据传输实时性立柱作为立式加工中心的关键结构件，其在工作中的微小变形就足以影响加工中心的加工质量，因此，对立柱进行动静态特性分析及其结构的合理改进就显得尤为重要。在立柱的优化设计方面，已有学者对此做过研究，文献对立柱展开动静态特性分析，并对其结构参数进行优化。文献根据对立柱有限元分析结果，对其内部板筋进行合理布置。文献对立柱结构进行拓扑优化设计，其结果表明动态性能有较大提高。文献在有限元分析的基础上对立柱结构进行适当改进，在减少材料的同时，其动态特性得到相应改善。
目前在立柱的优化设计中，很少有考虑动静态特性的多目标拓扑优化; 在分析方面，多数加载形式集中在立柱与主轴箱滑块相连的导轨面上或立柱顶端面上，很少有对其在铣削、钻削等典型工况下的载荷进行分析与比较。本文以SolidWorks 软件将立柱与主轴箱实体模型一并建出，并根据载荷分析结果，选择在铣削工况下应用Workbench 软件对主轴箱位于立柱最上端极限位置进行动静态特性分析; 运用折衷规划法结合平均频率法建立立柱动静态特性的联合拓扑优化数学模型，利用ANSYS 软件对其结构进行多目标拓扑优化设计，从而为加工中心优化设计提供参考依据。
1 立柱模型的建立
基于Workbench 软件建立立柱模型可分为两步:立柱实体模型的建立与有限元模型的建立。
1.1 立柱实体模型的建立
考虑到主轴箱通过滑块和丝杠与立柱直接相连，对立柱这一支承件来说主轴箱作为其较大的集中质量，并且在工作过程中，切削力是借助主轴箱的滑块作用到立柱的两根导轨上，所以主轴箱对立柱的抗弯、抗扭和固有频率等动静态特性有着较大影响。为了保证后续分析与优化过程中加载的准确性和方便性，将主轴箱模型也一并建出，通过主轴箱进行力的分析，使得立柱的受力情况更符合实际。
为提高建模效率，使用SolidWorks 软件建立立柱结构实体模型，然后，利用软件间无缝连接的优势直接导入Workbench 中转化为有限元模型。在建立三维实体模型时，为了有利于后续有限元分析的开展，考虑到一些小特征对整体模型的动静态特性影响较小，故笔者对部分局部特征进行了合理的简化，去掉细小特征如倒角、圆角及螺纹等。简化后立柱结构实体模型如图1 所示。
1.2立柱有限元模型的建立
根据实际情况分析，主轴箱位于立柱最上端极限位置时，对立柱的动静态特性影响最大，因此，选择主轴箱位于立柱最上端极限位置工况进行分析与优化更具有典型意义。
立柱和主轴箱属于铸件，材料选用HT300; 主轴材料为GCr15; 线轨和滑块材质选用QT600-3。材料属性如表1 所示。
利用Workbench 的有限元处理工具可以对模型设置几种不同的网格划分方式，但考虑到立柱结构比较复杂，故采用自动网格划分的方法对其进行以四面体为主的网格划分。通过反复调试网格设置参数，生成298 573个节点，189 861个单元，其中网格单元质量为0. 715 8、偏度系数为0.372 5，说明网格质量达到了比较理想的结果。立柱结构有限元模型如图2 所示。
2 立柱动静态特性分析
2.1载荷分析
加工中心立柱所受的载荷是通过主轴箱进行传递的，而在不同的加工形式以及不同的加工状态下，主轴箱所受切削力形式和大小也是不同的。而加工中心切削方式一般包括铣、钻、镗及加工螺纹等多种加工，故需要根据不同的加工形式进行危险工况分析。针对实际情况，选取端铣、钻削两种典型工况的加工形式进行载荷分析。
2.1.1钻削工况下载荷分析
加工中心在钻削加工工况时的钻削进给力Ff与切削转矩Mc可按以下公式进行计算:
式中: d 为最大钻头直径，mm; f 为每转进给量，mm/r; CFf、zFf、yFf 分别为钻削进给力系数和指数; CMc、zMc、yMc 分别为切削转矩系数和指数; KFf、KMc分别为进给力和转矩的修正系数，一般情况下，可取KFf、KMc为1。
将有关参数代入式( 1) 、式( 2) 计算可得:
2.1.2端铣工况下载荷分析
依据该立式加工中心在铣削工况下常用情况，选取端铣刀，刀具材料为硬质合金，工件材料为碳钢，主切削力Fc可按下列经验公式计算:
横向进给力Fx为:
Fx = 0． 3Fc
纵向进给力Fy为:
垂向进给力Fz为:
Fz = 0． 5Fc
式中: ae为被加工表面宽度，mm; fz为每齿进给量，mm/z; ap为切削深度，mm; z 为铣刀齿数; d 为铣刀直径，mm; n 为铣刀转速，r /min。
将相关参数代入公式计算可得:
根据立式加工中心端铣、钻削两种典型工况下载荷分析结果表明: 端铣工况下载荷更加复杂，并且各向分力也比较大，在端铣工况下对立柱进行动静态特性分析，更能全面反映立柱动静态性能。
2. 2 静力学分析
在Workbench 环境下对模型施加载荷及约束时，应按照具体情况进行分析，这样才能确保计算所得结果的可靠性。由于立柱是通过螺栓与底面的床身进行连接，所以对其结合面与立柱螺栓孔面进行位移约束来模拟其边界条件; 主轴箱与立柱的结合面采用Banded 接触单元类型进行模拟。通过对立柱实体模型加载分析，求解得到其位移和等效应力云图，如图3所示。
根据图3a 立柱静态特性分析结果可知，立柱的最大变形量为0.087 277mm，出现在其顶部。由此看来，主轴箱体位于立柱最上端极限位置工况时，立柱的变形量较小，静刚度足够，对加工精度的影响不大。
从图3b 所示立柱等效应力云图来看，最大等效应力为12.352MPa，即使考虑应力集中的情况，依据第四强度理论，最大等效应力还是远小于灰铸铁的强度极限300MPa。
从立柱整体来看，其刚度及强度不但达到结构要求，并且还具有一定的裕量，表明现有结构设计趋于保守，充分说明其材料分配还可进一步改善。
2.3 模态分析
模态分析是结构动力学分析中的一个重要部分，用以确定实体结构的固有频率和相应振型，为结构的合理设计提供相应依据，防止其在工作过程中发生共振。由于本文只关心立柱自身的振动特性，因而在进行模态分析时就没有必要考虑主轴箱等。当外部激励与立柱的固有频率接近时，易引起共振，所以模态分析时主要关心其低阶固有频率。在约束状态下，通过求解得到立柱的前六阶固有频率与振型，分析结果如表2 所示。
立柱前四阶模态振型图见图4。
从图4 中可看出，1 阶和2 阶振型特点主要表现在立柱的上端发生前后、左右摆振，而3 阶与4 阶振型特征分别体现在立柱上端两侧壁出现扭振变形、前后壁呼吸振动。立柱的1 阶固有频率为125. 03Hz，考虑到工作中对其可靠性及稳定性指标要求较高，故低阶固有频率还有待提高。
2.4 谐响应分析
谐响应分析是为了分析结构抗振性能，它是在模态分析的基础上进行的，对立柱进行谐响应分析，可以较为直观地看出其在动态切削力干扰下抵抗振动的能力。工作过程中，应尽量防止所受动态激励与立柱的固有频率相接近，这样可以有效地防止立柱的共振，从而提高机床的加工精度与稳定性。
综合分析，简谐力频率范围设置为0 ～ 625Hz，间隔定为25Hz 时，对立柱X、Y、Z 三个方向响应位移进行计算，求得幅频特性曲线如图5 所示。
从图5 中X、Y、Z 三个方向上的幅频特性曲线可以看出，其频率在125、250 和525Hz 附近时，幅值较大、容易发生共振。结合前面模态分析结果可知，谐响应分析与模态分析结果大致吻合，从而印证分析的正确性。
3 立柱多目标拓扑优化及结构改进
3.1 多目标拓扑优化
优化设计的原理是利用构建优化模型，使用各种优化方法，通过在满足设计要求条件下的迭代计算，求得目标函数的极值，获得最优设计方案。为了使优化结果具有良好的动静态特性，故将同时考虑静态刚度、动态振动频率的目标作为拓扑优化的总目标函数。
多目标优化问题通常采用线性加权和的方法，这种方法具有一定的局限性，所以本文运用折衷规划法结合平均频率法对多个子目标进行处理，对结构进行动静态特性的联合拓扑优化，其数学模型可表示为:
式中: ρ 为立柱结构单元的相对密度列阵; F( ρ) 为结构动静态联合综合目标函数; ω 为柔度目标函数的权重; q 为惩罚因子，q ≥2; m 为载荷工况总数; ωk为第k个工况的权值; Ck( ρ) 为第k 个工况的柔度; Ckmax 、Ckmin分别为第k 个工况柔度的最大值和最小值; Λ( ρ) 为前两阶平均频率; Λmax、Λmin分别为频率的最大值和最小值; K 为立柱结构总刚度矩阵; U 为结构位移矩阵; F为力列向量; λj为第j 阶特征频率; M 为总质量矩阵;φj为第j 阶振型向量; V0为结构的初始体积; α 为体积分数; V 为结构优化后的体积; ρi为第i 个结构单元相对密度分量; Vi为立柱优化后第i 个结构单元相对密度对应的材料体积; ρmin为结构单元相对密度最小值。
由于静态刚度和动态频率是两个相互矛盾的目标函数，权重分配相差过大时难以使刚度和频率目标函数同时达到最优。通过前面对立柱动静态分析结果和对各优化目标的重视程度，在多目标拓扑优化的综合目标函数中，取柔度的权值为0.4，频率的权值为0.6，惩罚因子为2。以式( 3) 作为多目标拓扑优化目标函数，取材料减少百分比为30%，经过26 步迭代后，没有发生振荡现象，目标函数趋于收敛。
目标函数迭代曲线如图6 所示，拓扑优化密度云图如图7 所示。
3.2 结构改进
结合前面对立柱的动静态特性分析结果，可从图7 拓扑优化的密度云图看出，深色区域是伪密度为1的材料，这些区域的材料表示建议切除的部分，而其他不是深色区域的材料则是需要保留的部分，这为立柱结构的改进提供了相应思路。另外，从拓扑优化结果可知，建议移除的材料形状是不规则的，考虑到立柱设计、制造过程中的实际情况，并不能将所有是深色部分的材料全部移除，所以应该对立柱深色区域的材料进行合理的优化。
针对立柱结构的实际特征，将原立柱侧面的小圆孔改为矩形孔; 在其后面和底部合理布置圆孔; 同时适当地改进其内部筋板结构及厚度。优化后立柱模型如图8 所示。
在相同工况下，对优化后立柱进行静力学分析与模态分析。立柱优化前后的分析结果如表3 所示。从表3 中可以看出，优化后立柱相比于优化前立柱，静刚度有所提高，其质量减少3.57%，1 阶、2 阶固有频率分别增加7.82%、4.79%。
4 结语
对立式加工中心的重要支承件立柱进行研究分析时，为保证加载的准确性、方便性和使得受力情况更符合实际，本文将立柱与主轴箱的实体模型一并建出，在典型工况下对其结构进行动静态特性分析。运用折衷规划法和平均频率法建立立柱动静态特性的联合拓扑优化数学模型，利用ANSYS 软件对其结构进行多目标拓扑优化分析。
通过对立柱结构进行动静态特性分析和联合拓扑优化设计，能够有效地指导设计者合理布局其结构，不仅可以降低立柱质量，还能提高其动静态性能，从而为研究加工中心其他部件的动静态特性以及优化设计提供参考。
