用圆弧逼近零件轮廓曲线的节点计算 非圆曲线节点坐标的计算

用圆弧逼近零件轮廓曲线的节点计算

用圆弧逼近非圆曲线，目前常用的算法有曲率圆法、三点圆法和相切圆法等。

（1）曲率圆法圆弧逼近的节点计算

1）基本原理  曲率圆法是用彼此相交的圆弧逼近非圆曲线。

已知轮廓曲线Y=f（X）如图2-14所示，从曲线的起点开始，作与曲线内切的曲率圆，求出曲率圆的中心。以曲率圆中心为圆心，以曲率圆半径加（减）δ_允为半径，所作的圆  （偏差圆）与曲线Y=f（X）的交点为下一个节点，并重新计算曲率圆中心，使曲率圆通过相邻的两节点。

图2-14  曲率圆法圆弧段逼近

重复以上计算即可求出所有节点坐标及圆弧的圆心坐标。

2）计算步骤

① 以曲线起点（x_n，y_n）开始作曲率圆：     

     

              圆心        

    

半径   

　

② 偏差圆方程与曲线方程联立求解：

　

        

　

得交点（x_n+1，y_n+1）

③ 求过（x_n，y_n）和（x_n+1，y_n+1）两点，半径为Rn的圆的圆心：

　

           

　

得交点（ζ_m，η_m），该圆即为逼近圆。

（2）．三点圆法圆弧逼近的节点计算

图2-15  三点圆弧段逼近

三点圆法是在等误差直线段逼近求出各节点的基础上，通过连续三点作圆弧，并求出圆心点的坐标或圆的半径。如图2-15所示，首先从曲线起点开始，通过P₁、P₂、P₃三点作圆。圆方程的一般表达形式为

                    x²＋y²＋Dx＋Ey＋F=0

　

其圆心坐标  

     

   

半径          

                         

　

通过已知点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃）的圆，其                                             

             

　

　

 

为了减少圆弧段的数目，应使圆弧段逼近误差δ=δ_允，为此应作进一步的计算。设已求出连续三个节点P₁、P₂、P₃处曲线的曲率半径分别为R_P1、R_P2、R_P3，通过P₁、P₂、P₃三点的圆的半径为R，取

　

        ，按算出δ值，          

　

按δ值进行一次等误差直线段逼近，重新求得P₁、P₂、P₃三点，用此三点作一圆弧，该圆弧即为满足δ=δ_允条件的圆弧。

（3）．相切圆法圆弧逼近的节点计算

1）基本原理   如图2-16 所示粗线表示工件廓形曲线，在曲线的一个计算单元上任选四个点A、B、C、D，其中A点为给定的起点。AD段（一个计算单元）曲线用两相切圆弧M和N逼近。具体来说，点A和B的法线交于M，点C和D的法线交于N，以点M和N为圆心，以MA和ND为半径作两圆弧，则M和N圆弧相切于MN的延长线上G点。

曲线与M、N圆的最大误差分别发生在B、C两点，应满足的条件是：

图2-16  用相切圆弧逼近轮廓线

 两圆相切G点                         （2-2）

   满足δ_允要求                         （2-3）                          

2）计算方法：                   

①     求圆心坐标的公式。点A和B处曲线的法线方程式为

（x－x_A）－k_A（y－y_A）=0

（x－x_B）－k_B（y－y_B）=0

式中k_A和k_B为曲线在点A和B处的斜率，k=dy/dx。

解上两式得两法线交点M（圆心）的坐标为：

　

                                （2-4）

　

　

同理可通过C、D两点的法线方程求出N（圆心）点坐标为：

                          （2-5）

　

　

②     求B、C、D三点坐标。根据（2-2）和（2-3）式，得

           （2-6）

　

　

（2-7）

　

　

式中的A、B、C、D的y坐标值分别由以下公式求出

                   y_A=f（x_A），y_B=f(x_B)

                   y_C=f（x_A），y_D=f(x_D)

再代入（2-6）和（2-7）式，用迭代法可求出B、C、D坐标值。

③求圆心M、N坐标值和R_M、R_N值。 将B、C、D坐标值代入（2-4）和（2-5）式即求出圆心M和N的坐标值，并由此求出R_M和R_N值。

应该指出的是，在曲线有拐点和凸点时，应将拐点和凸点作为一个计算单元（每一计算单元为四个点）的分割点。